Característica (álxebra)

En matemáticas, a característica dun anel $R$ , a miúdo denotado $char(R)$ , defínese como o menor número positivo de copias da identidade multiplicativa do anel ( $1$ ) que dará como resultado a identidade aditiva ( $0$ ). Se non existe tal número, dise que o anel ten a característica cero.

É dicir, $char(R)$ é o menor número positivo $n$ tal que:^[1] (p 198, Thm. 23.14)

\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ sumandos}}}=0

se existe tal número $n$ , e $0$ en caso contrario.

Caracterizacións equivalentes

A característica dun anel $R$ é o número natural $n$ tal que $\mathbb {Z}$ é o kernel do único homomorfismo de aneis de $\mathbb {Z}$ a $R$ .^[a]
A característica é o número natural $n$ tal que $R$ contén un subanel isomorfo ao anel cociente $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ , que é a imaxe do homomorfismo anterior.
Cando os enteiros non negativos ${0, 1, 2, 3, ...}$ están parcialmente ordenados por divisibilidade, entón $1$ é o máis pequeno e $0$ é o maior. Entón a característica dun anel é o menor valor de $n$ para o cal $n \cdot 1 = 0$ . Se nada "menor" (nesta orde onde 0 é o maior) que $0$ dá resultado, entón a característica é $0$ . Esta é a ordenación parcial apropiada debido a feitos como que $char(A \times B)$ é o mínimo común múltiplo de $char A$ e $char B$ , e que non hai homomorfismo de aneis $f : A \to B$ que exista a menos que $char B$ divida $char A$ .
A característica dun anel $R$ é $n$ precisamente se a afirmación $ka = 0$ para todo $a \in R$ implica que $k$ é múltiplo de $n$ .

Caso de aneis

Se $R$ e $S$ son aneis e existe un homomorfismo de aneis $R \to S$ , entón a característica de $S$ divide a característica de $R$ . Isto ás veces pódese usar para excluír a posibilidade de certos homomorfismos de aneis. O único anel coa característica $1$ é o anel cero, que ten só un elemento $0$ . Se un anel non trivial $R$ non ten ningún divisor de cero non trivial, entón a súa característica é $0$ ou primo. En particular, isto aplícase a todos os corpos, a todos os dominios de integridade e a todos os aneis de división. Calquera anel de característica $0$ é infinito.

O anel $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ dos enteiros módulo $n$ ten característica $n$ . Se $R$ é un subanel de $S$ , entón $R$ e $S$ teñen a mesma característica. Por exemplo, se $p$ é primo e $q (X)$ é un polinomio irredutíbel con coeficientes no corpo $\mathbb {F} _{p}$ con $p$ elementos, entón o anel cociente $\mathbb {F} _{p}[X]/(q(X))$ é un corpo de característica $p$ . Outro exemplo: O corpo $\mathbb {C}$ de números complexos contén $\mathbb {Z}$ , polo que a característica de $\mathbb {C}$ é $0$ .

Unha $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ -álxebra é equivalentemente un anel cuxa característica divide $n$ . Isto débese a que para cada anel $R$ hai un homomorfismo de aneis $\mathbb {Z} \to R$ , e este mapa factoriza en $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ se e só se a característica de $R$ divide $n$ . Neste caso, para calquera $r$ do anel, engadir $r$ a si mesmo $n$ veces dá $nr = 0$ .

Se un anel conmutativo $R$ ten a característica de $p$ primo, entón temos $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$ para todos os elementos $x$ e $y$ en $R$ , cúmprese para a potencia $p$ , así cúmprese o "soño de primeiro ano" (freshman's dream en inglés) que normalmente é incorrecto. O mapa $x\rightarrow x^{p}$ define logo un homomorfismo de aneis $R \to R$ , que se chama homomorfismo de Frobenius. Se $R$ é un dominio de integraidade é inxectivo.

Caso dos corpos

Como se mencionou anteriormente, a característica de calquera corpo é $0$ ou un número primo. Un corpo de característica distinta de cero chámase corpo de característica finita ou característica positiva ou característica prima. O expoñente característico defínese de xeito similar, excepto que é igual a $1$ cando a característica é $0$ ; en caso contrario ten o mesmo valor que a característica.^[1]^:{{{1}}}

Calquera corpo $F$ ten un subcorpo mínimo único, tamén chamado subcorpo primo. Este subcorpo é isomorfo ao corpo dos números racionais $\mathbb {Q}$ (cando ten característica cero) ou a un corpo finito $\mathbb {F} _{p}$ de orde prima. Dous corpos primos da mesma característica son isomorfos, e este isomorfismo é único. Noutras palabras, hai esencialmente un corpo primo único en cada característica.

Corpos de característica cero

Os corpos máis comúns de característica cero son os subcorpos dos números complexos. Tamén os corpos p-ádicos son corpos de característica cero que se usan amplamente na teoría de números.

Para calquera corpo ordenado, como o corpo dos números racionais $\mathbb {Q}$ ou o corpo dos números reais $\mathbb {R}$ , a característica é $0$ . Así, todo corpo numérico alxébrico e o corpo de números complexos $\mathbb {C}$ son de característica cero.

Corpos de característica prima

O corpo finito $GF(p n)$ ten característica $p$ .

Existen infinitos corpo de característica prima. Por exemplo, o corpo de todas as funcións racionais $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ , o peche alxébrico de $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ou o corpo das series formais de Laurent $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((T))$ .

O tamaño de calquera anel finito de característica prima $p$ é unha potencia de $p$ . Xa que nese caso contén $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ e tamén é un espazo vectorial sobre ese corpo, e pola álxebra linear sabemos que os tamaños dos espazos vectoriais finitos sobre corpos finitos son unha potencia do tamaño do corpo. Isto tamén mostra que o tamaño de calquera espazo vectorial finito é unha potencia prima.^[b]

Notas

↑ ^1,0 ^1,1 Fraleigh, John B.; Brand, Neal E. (2020). A First Course in Abstract Algebra (8th ed.). Pearson Education.

↑ Os requisitos dos homomorfismos de aneis son tales que só pode haber un (de feito, exactamente un) homomorfismo do anel de enteiros a calquera anel.
↑ É un espazo vectorial sobre un corpo finito, que demostramos que é de tamaño $p n$ , polo que o seu tamaño é $(p n) m = p nm$ .

Véxase tamén

Bibliografía

McCoy, Neal H. (1973) [1964]. The Theory of Rings. Chelsea Publishing. p. 4. ISBN 978-0-8284-0266-8.

Outros artigos

[Fraleigh-Brand-2020-1] 1,0 ^1,1 Fraleigh, John B.; Brand, Neal E. (2020). A First Course in Abstract Algebra (8th ed.). Pearson Education.

[2] Os requisitos dos homomorfismos de aneis son tales que só pode haber un (de feito, exactamente un) homomorfismo do anel de enteiros a calquera anel.

[3] É un espazo vectorial sobre un corpo finito, que demostramos que é de tamaño $p n$ , polo que o seu tamaño é $(p n) m = p nm$ .

[1]

[a]

[b]