Mínimo común múltiplo

En matemáticas, o mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m.) ou mínimo múltiplo común de dous ou máis números naturais é o menor número natural que é múltiplo común de todos eles (ou o ínfimo do conxunto dos múltiplos comúns). Este concepto estivo ligado historicamente cos números naturais, pero pódese empregar para enteiros negativos ou enteiros gaussianos.

Cálculo do mínimo múltiplo común

Partindo de dous ou máis números e por descomposición en factores primos, expresados como produto de factores primos, o seu mínimo múltiplo común será o resultado de multiplicar todos os factores comúns e non comúns elevados á maior potencia, por exemplo o mcm de 72 e 50 será:

${\begin{array}{r|l}72&2\\36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}}$ $72=2^{3}\cdot 3^{2}\,$

${\begin{array}{r|l}50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}}$ $50=2\cdot 5^{2}\,$

Tomando os factores comúns e non comúns co seu maior expoñente, tense que:

$\operatorname {mcm} (72,50)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=1800$

Coñecendo o máximo divisor común de dous números, pódese calcular o mínimo múltiplo común deles, que será o produto de ambos os dous dividido entre o seu máximo común divisor.

$\operatorname {mcm} (a,b)={\frac {a\cdot b}{\operatorname {mcd} (a,b)}}$

Propiedades básicas

1. Se a é un enteiro, entón [a, a] = a
2. Se a e b son enteiros, [a, b] = b se só se b é múltiplo de a.
3. (a, b) = [a, b] se son iguais ou opostos.
4. [a, b] = [ab] se e só se (a, b)= 1
5. [a/d, b/d] = [m/a, m/b] onde m = mcm e d = mcd.
6. [ma, b]= m[a, b] se ([a, b]/a, m) = 1
7. [a, b, c]= ''a'', ''b'', ''b'', ''c''
8. [a, b, c]|ab', onde abc ≠ 0
9. [a, b, c] = ab' (a, b, c)/(a, b)(b, c)(c, d)

Outras propiedades son:

• Se se divide o produto de dous números polo seu máximo divisor común devandito cociente é o mínimo múltiplo común.
• O mínimo múltiplo común de dous números, onde o menor divide a maior, será o maior. É lóxico xa que un múltiplo de ambos inferior ao maior sería imposible xa que non sería múltiplo do maior.
• O mínimo múltiplo común de dous números primos é o total da súa multiplicación. Isto é lóxico xa que o seu máximo divisor común é 1.
• O mínimo múltiplo común de dous números compostos será igual ao cociente entre o seu produto e o m.c.d deles. É evidente segundo a propiedade 1.
• O máximo divisor común de varios números é un divisor do mínimo múltiplo común de tales números.
• Sexa mℤ o conxunto dos múltiplos do enteiro m e nℤ o do enteiro n. Entón o conxunto nℤ∩mℤ está formado polos múltiplos comúns de m e n; noutra notación é o conxunto [m, n]ℤ.

Aplicacións do mínimo múltiplo común

Suma de fraccións

O mcm pódese empregar para sumar ou restar fraccións de distinto denominador, tomando o mcm dos denominadores das fraccións, e converténdoas en fraccións equivalentes que poidan ser sumadas. Por exemplo:

${\frac {1}{6}}+{\frac {4}{33}}$

Para poder efectuar a suma, primeiro débese buscar o mínimo múltiplo común dos denominadores (6 e 33)

${\begin{array}{r|l}6&2\\3&3\\1&\end{array}}$ $6=2\cdot 3\,$

${\begin{array}{r|l}33&3\\11&11\\1&\end{array}}$ $33=3\cdot 11\,$

daquela o mínimo común múltiplo de 6 e 33 é:

$\operatorname {mcm} (6,33)=2\cdot 3\cdot 11=66$

que corresponde ao número 66; ambas as fraccións terán como denominador 66; agora só hai que achar a cada fracción a súa fracción equivalente, con denominador 66 e será posible a suma:

${\cfrac {1}{6}}+{\frac {4}{33}}\quad =\quad {\cfrac {1}{6}}\cdot {\cfrac {\cfrac {66}{6}}{\cfrac {66}{6}}}\;+\;{\cfrac {4}{33}}\cdot {\cfrac {\cfrac {66}{33}}{\cfrac {66}{33}}}\quad =\quad {\cfrac {1\cdot {\cfrac {66}{6}}}{6\cdot {\cfrac {66}{6}}}}\;+\;{\cfrac {4\cdot {\cfrac {66}{33}}}{33\cdot {\cfrac {66}{33}}}}\quad =\quad {\cfrac {1\cdot {\cfrac {66}{6}}}{{\cancel {6}}\cdot {\cfrac {66}{\cancel {6}}}}}\;+\;{\cfrac {4\cdot {\cfrac {66}{33}}}{{\cancel {33}}\cdot {\cfrac {66}{\cancel {33}}}}}\quad =$

operando as fraccións, pódese realizar a suma:

${\cfrac {1\cdot 11}{66}}+{\frac {4\cdot 2}{66}}\quad =\quad {\cfrac {11}{66}}+{\frac {8}{66}}\quad =\quad {\cfrac {19}{66}}$

Expresións alxébricas

O m.c.m. para dúas expresións alxébricas, corresponde á expresión alxébricas de menor coeficiente numérico e de menor grao que é divisible exactamente por cada unha das expresións dadas. Esta teoría é de suma importancia para as fraccións e ecuacións.

Desta form${\displaystyle }$ o m.c.m. dos monomios $\ 4a$ e $\ 6a^{2}$ é $\ 12a^{2}$ igualmente para $\ 2x^{2},\ 6x^{3}$ e $\ 9x^{4}$ é $\ 18x^{4}$.

Algoritmo de cálculo

Para máis de dous números, un algoritmo para calcular o mínimo múltiplo común é:

1. Descompor cada un dos números nun produto de potencias de factores primos. Por exemplo, a descomposición factorial de 324 é 2²·3⁴.
2. De entre todos as potencias de factores primos, escoller todos os existentes, e dentro dos comúns a todos os números, os de maior potencia.
3. Multiplicar todos os factores escolleitos.

Por exemplo, calculando o mcm(324,16,7,5). A descomposición de 324 é 2²·3⁴.; a descomposición de 16 é: 2⁴; a descomposición de 7 é 7 e a descomposición de 5 é 5.

${\begin{bmatrix}324=&2^{2}&3^{4}&&\\16=&2^{4}&&\\5=&&&5&\\7=&&&&7\end{bmatrix}}$

Polo tanto, obtense o mcm 2⁴·3⁴·7·5 = 45360.

Xeneralización do concepto de m.c.m. e m.c.d.

O concepto de m.c.m. e de m.c.d. pódese estender ás fraccións ou números racionais positivos. Estritamente falando calquera número racional divide outro racional e non existe un racional maior ou menor que todos. No entanto, a extensión aquí descrita ten interese nalgúns problemas e está relacionada coa teoría de aneis, ideais, identidade de Bézout, teorema de Krull etc.

Sexan dúas fraccións ${\frac {a}{b}}$ e ${\frac {c}{d}}$ irreducibles

$a=\prod _{i}p_{i}^{e_{i}(a)},b=\prod _{i}p_{i}^{e_{i}(b)},c=\prod _{i}p_{i}^{e_{i}(c)},d=\prod _{i}p_{i}^{e_{i}(d)}$ a descomposición en factores primos de $a,b,c,d$. Entón

${\frac {\prod _{i}p_{i}^{\max(e_{i}(a),e_{i}(c))}}{\prod _{i}p_{i}^{\min(e_{i}(b),e_{i}(d))}}}$

é unha fracción que é múltiplo común de ${\frac {a}{b}}$ e ${\frac {c}{d}}$ e é o mínimo polas propiedades do m.c.m. e m.c.d. de dous enteiros non negativos xa que ${\prod _{i}p_{i}^{\max(e_{i}(a),e_{i}(c))}}$ e o m.c.m. dos numeradores e ${\prod _{i}p_{i}^{\min(e_{i}(b),e_{i}(d))}}$ é o m.c.d. dos denominadores de xeito que se pode concluír que

$\operatorname {mcm} \left({\frac {a}{b}},{\frac {c}{d}}\right)={\frac {\operatorname {mcm} (a,c)}{\operatorname {mcd} (b,d)}}.$

Analogamente ou tendo en conta que o produto de dous números é igual ao do seu m.c.m. polo seu m.c.d. obtense:

$\operatorname {mcd} \left({\frac {a}{b}},{\frac {c}{d}}\right)={\frac {\operatorname {mcd} (a,c)}{\operatorname {mcm} (b,d)}}.$

As fórmulas anteriores son válidas para unha cantidade finita de fraccións. Ademais o cociente do mcm entre cada fracción é un enteiro e o conxunto dos cocientes forman un sistema de primos entre si. De igual maneira, o cociente de cada fracción entre o mcd é enteiro, os cocientes son primos entre si.

De maneira máis xeral, o concepto de m.c.m. ten sentido en calquera dominio enteiro.

Véxase tamén

Bibliografía

• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001). Prime Numbers: A Computational Perspective. Nova York: Springer. ISBN 0-387-94777-9. 
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853171-5. 
• Landau, Edmund (1966). Elementary Number Theory. Nova York: Chelsea. 
• Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.). Lexington: D. C. Heath and Company. LCCN 77-171950. 
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970). Elements of Number Theory. Englewood Cliffs: Prentice Hall. LCCN 77-81766. 

Outros artigos

• Máximo común divisor
• Número primo
• Mínimo común denominador

Ligazóns externas

• Calculador do MCM Online
• Calculador do MCM Online (2)
• Quiz do MCM
• Cálculo do MCM e do MCD