Isomorfismo de grupos

En teoría de grupos, dise que dous grupos son isomorfos se existe un isomorfismo entre eles, é dicir, un homomorfismo de grupos bixectivo.

Desde un punto de vista abstracto, os grupos isomorfos teñen a mesma estrutura e mesmas propiedades e só se diferencian polos símbolos utilizados para denotar ao conxunto subxacente, os seus elementos e a operación.

Un isomorfismo de grupos é unha relación de equivalencia, e por tanto permite clasificar os grupos «ata isomorfismo». Cando dous grupos son isomorfos, dise que pertencen á mesma clase de isomorfía ou que teñen o mesmo tipo de isomorfismo.

Definición

Unha aplicación $\phi :G\longrightarrow {\bar {G}}$ entre os grupos $(G,\cdot )$ e $({\bar {G}},*)$ é un isomorfismo de grupos se se cumpren as dúas condicións seguintes:

1. $\phi$ é un homomorfismo de grupos: para todo par de elementos $x,y\in G$, cúmprese que $\phi (x\cdot y)=\phi (x)*\phi (y)$
2. $\phi$ é unha bixección: fai corresponder de maneira biunívoca os elementos de $G$ cos de ${\bar {G}}$.

Nesa situación dise que os grupos $G$ e ${\bar {G}}$ son isomorfos e denótase por $G\thickapprox {\bar {G}}$.

Exemplos

• O grupo multiplicativo dos reais positivos e o grupo aditivo dos reais son isomorfos baixo a aplicación exponencial:$f(x)=e^{x}$.
• O grupo diedral do triángulo D₃ e o grupo de permutacións de tres elementos S₃ son isomorfos.
• O grupo de Klein V (das simetrías dun rectángulo) é isomorfo ao produto directo C₂× C₂.
• Dado un número primo p, todos os grupos de orde p son isomorfos entre si.

Equivalencia de grupos isomorfos

Os isomorfismos de grupos permiten describir unha relación, que podemos expresar como: «o grupo G é isomorfo ao grupo H» se existe un isomorfismo $G\to H$. Esta relación é unha relación de equivalencia:

• é reflexiva: Todo grupo G é isomorfo a si mesmo baixo a función identidade $id_{G}:G\to G:x\mapsto x$. Esta función é obviamente unha bixección, e tamén é un homomorfismo, pois

.$id_{G}(x\cdot y)=x\cdot y=id_{G}(x)\cdot id_{G}(y)$

• é simétrica: se G é isomorfo a H entón H é isomorfo a G. Dado un isomorfismo $\phi :G\to H$, a aplicación inversa $\phi ^{-1}:H\to G$ é tamén un isomorfismo.

• é transitiva: se G é isomorfo a H e H é isomorfo a K entón G é isomorfo a K. Sexan $(G,\cdot ),\ (H,*)$ e $(K,\times )$ tres grupos, e sexan $\phi :G\to H$ e $\phi :G\to H$ isomorfismos. Entón a composición $\psi \circ \phi :G\to K$ é tamén un isomorfismo.

Teoremas de isomorfismo de grupos

Existen tres importantes teoremas, formulados por Emmy Noether, que relacionan cocientes, subgrupos normais e homomorfismos, e que teñen análogos para a maioría das estruturas alxébricas.

• O primeiro teorema é un caso particular do teorema fundamental de homomorfismos:

Sexa $f:G\longrightarrow G'$ un homomorfismo de grupos, con kernel $ker\ f=K\triangleleft G$. Entón $G/K\thickapprox im\ f\leq G'$.

• Segundo teorema:

Se $N$ e $H$ son subgrupos dun grupo $G$, con $N$ normal en $G$, daquela $NH$ é un subgrupo de $G$, $N\cap H$ é normal en $H$ e $H/(N\cap H)\cong (NH)/N$.

• Terceiro teorema:

Se $N$ e $H$ son subgrupos normais dun grupo $G$, con $N\subseteq H$, entón $G/H\cong (G/N)/(H/N)$.

Grupos de automorfismos

En xeral, un homomorfismo é unha función entre dous grupos distintos. Con todo, dado un grupo G é posible definir endomorfismos: funcións $\phi :G\to G$ que son homomorfismos de G en si mesmo. Non todos son bixectivos, mais cando o son dicimos que $\phi$ é un automorfismo.

O conxunto de automorfismos dun grupo G, xunto coa operación de composición de funcións, ten estrutura de grupo, e se denomina grupo de automorfismos de G, que denotamos como Aut(G). Entre estes hai un importante subgrupo formado polos automorfismos interiores de G, que son aqueles definidos pola conxugación respecto dun elemento do grupo. Este subgrupo, que é normal, denótase por Inn(G). O cociente Aut(G)/Inn(G) denomínase grupo de automorfismos exteriores, e denótase por Out(G).

Véxase tamén

Bibliografía

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3ª ed.). Wiley. ISBN 978-81-265-3228-5. 
• Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups (4ª ed.). Springer. 

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Isomorphic Groups". MathWorld.