Identidade de Euler

En matemáticas, a Identidade de Euler, un caso especial da fórmula de Euler, é a seguinte:

$e^{i\pi }+1=0\;$

Esta ecuación aparece en Introdución de Leonhard Euler, publicada en Lausanne en 1748. (V. número e; unidade imaxinaria; número pi)

Demostración

Esta fórmula é un caso da fórmula de Euler, que asigna

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!$

para calquera número real $x$. Se consideramos que $x=\pi$, temos que

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \,\!$

e posto que cos(π) = -1 e sen(π) = 0, obtemos que

$e^{i\pi }=-1\,\!$

e polo tanto

$e^{i\pi }+1=0\,\!$

Importancia desta identidade

É "a fórmula máis salientable en matemáticas" segundo Richard Feynman. Feynman sinalou a importancia desta fórmula porque enlaza algunhas constantes matemáticas fundamentais:

• O número 0, o elemento neutro da suma (é dicir, para toda a, a+0=0+a=a).
• O número 1, o elemento neutro da multiplicación (para toda a, a×1=1×a=a).
• O número pi ($\pi$) é fundamental na trigonometría.
• O número e ($e$) é fundamental nas conexións co estudo dos logaritmos e no cálculo.
• A unidade imaxinaria $i$.

Ademais, tódolos operadores aritméticos fundamentais están presentes: igualdade, suma, multiplicación e potencias.

Houbo un debate substancial no campo da filosofía das matemáticas sobre o "significado real" ou o "significado profundo" debido a que inclúe múltiples constantes e operacións. Algúns afirman que describe propiedades cognitivas dunha mente - e advocan pola cognitividade das matemáticas. No outro extremo, afirman que representa o consenso racional entre os matemáticos ou simplemente é unha proba da realidade física do universo e a álxebra e unha consecuencia da súa estrutura. Segundo isto, a fórmula non sería só salientable, senón divina.