Saltar ao contido

Función limitada

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Unha ilustración esquemática dunha función limitada (vermello) e outra non limitada (azul). Intuitivamente, a gráfica dunha función limitada permanece dentro dunha banda horizontal, mentres que a gráfica dunha función non limitada non permanece.

En matemáticas, unha función definida nalgún conxunto con valores reais ou complexos denomínase limitada se o conxunto dos seus valores está limitado. Noutras palabras, existe un número real tal que

para todo en .[1] No caso contrario a función dise que é non limitada

Un caso especial importante é unha sucesión limitada, onde tómase como o conxunto dos números naturais. Así unha secuencia está limitada se existe un número real tal que

para cada número natural . O conxunto de todas as secuencias limitadas forma o espazo das sucesións .

A definición de limitado pódese xeneralizar a funcións tomando valores nun espazo máis xeral ao esixir que a imaxe sexa un conxunto limitado

Nocións relacionadas

[editar | editar a fonte]

Máis débil que o concepto de limitado é o concepto de limitado localmente. Unha familia de funcións limitadas pode estar limitada uniformemente.

  • A función seno, está limitada xa que para todas as .[1][2]
  • A función , definida para todos os reais agás para −1 e 1, non ten límites. A medida que se achega a −1 ou 1, os valores desta función aumentan en magnitude. Esta función pódese limitar se se restrinxe o seu dominio a, por exemplo, ou .
  • A función , definida para todos os reais, está limitada, xa que para todos os .
  • A función trigonométrica inversa arco tanxente definida como: ou é crecente para todos os números reais e limitados por radiáns[3]
  • Polo Teorema de Weierstrass, toda función continua nun intervalo pechado, como , está limitada.[4] De forma máis xeral, calquera función continua dun espazo compacto a un espazo métrico está limitada.
  • Todas as funcións de valores complexos que son enteiras son ​​non limitadas ou constantes como consecuencia do Teorema de Liouville.[5] En particular, a función complexa debe ser non límitada xa que é enteira.
  • A función que toma o valor 0 para número racional e 1 para número irracional (cf. Función de Dirichlet) está limitada. Así, unha función non precisa ter un aspecto usual para estar limitada. O conxunto de todas as funcións limitadas definidas en é moito maior que o conxunto das función continuas nese intervalo. Ademais, as funcións continuas non teñen por que estar limitadas; por exemplo, as funcións e definida por e son ambos as dúas continuas, mais ningunha das dúas está limitada.[6](No entanto, unha función continua debe estar limitada se o seu dominio está pechado e limitado.[6])
  1. 1,0 1,1 Bounded function. ISBN 978-0-412-62150-5. 
  2. "The Sine and Cosine Functions" (PDF). math.dartmouth.edu. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2 febreirio 2013. Consultado o 1 setembro 2021. 
  3. Polyanin, Andrei D.; Chernoutsan, Alexei (2010-10-18). A Concise Handbook of Mathematics, Physics, and Engineering Sciences (en inglés). CRC Press. ISBN 978-1-4398-0640-1. 
  4. Weisstein, Eric W. "Teorema do valor extremo". mathworld .wolfram.com. Consultado o 2021-09-01. 
  5. "Teoremas de Liouville - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath .org. Consultado o 2021-09-01. [Ligazón morta]
  6. 6,0 6,1 Ghorpade, Sudhir R.; Limaye, Balmohan V. (2010-03-20). A Course in Multivariable Calculus and Analysis. Springer Science & Business Media. p. 56. ISBN 978-1-4419-1621-1. 

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]