Saltar ao contido

Complexo conxugado

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Representación xeométrica (diagrama de Argand) de e o seu conxugado no plano complexo. O complexo conxugado atópase reflectindo a través do eixo real.

En matemáticas, o complexo conxugado dun número complexo é o número cunha parte real igual e unha parte imaxinaria igual en magnitude mais oposto en signo. É dicir, se e son números reais entón o complexo conxugado de é O complexo conxugado de adoita denotarse como ou .

En forma polar, se e son números reais daquela o conxugado de é Isto pódese mostrar usando a fórmula de Euler.

O produto dun número complexo e o seu conxugado é un número real:  (ou  en coordenadas polares).

Se unha raíz dun polinomio univariado con coeficientes reais é complexa, daquela o súa conxugada complexa tamén é unha raíz.

Propiedades

[editar | editar a fonte]

Para dous números complexos calquera, a conxugación é distributiva sobre a suma, resta, multiplicación e división: [1]

Un número complexo é igual ao seu complexo conxugado se a súa parte imaxinaria é cero, é dicir, se o número é real. Noutras palabras, os números reais son os únicos puntos fixos de conxugación.

A conxugación non muda o módulo dun número complexo:

A conxugación é unha involución, é dicir, o conxugado do conxugado dun número complexo é En símbolos,

[1]

O produto dun número complexo co seu conxugado é igual ao cadrado do módulo do número:

Isto permite o cálculo doado do inverso multiplicativo dun número complexo dado en coordenadas rectangulares:

A conxugación é conmutativa baixo composición con exponenciación a potencias enteiras, coa función exponencial e co logaritmo natural para argumentos distintos de cero:

Se é un polinomio con coeficientes reais e entón tamén o sería. Así, as raíces non reais de polinomios reais ocorren en pares conxugados complexos (ver Teorema da raíz conxugada complexa).

En xeral, se é unha función holomorfa cuxa restrición aos números reais ten valores reais, e e están definidos, daquela

Usar como variábel

[editar | editar a fonte]

Unha vez dado un número complexo ou , o seu conxugado é suficiente para reproducir as partes da variábel z:

  • Parte real:
  • Parte imaxinaria:
  • Módulo (ou valor absoluto) :
  • Argumento : por tanto

Conxugado dun hipercomplexo

[editar | editar a fonte]

A noción de número conxugado pódese estender a números hipercomplexos. Por exemplo, para un hipercomplexo (cuaternión ) temos:

Pódese ver que a operación unitaria[2] de conxugación hipercomplexa é o único automorfismo que deixinvariante a o subconxunto dos números reais diferenteade identidade. As mesmas propiedades que scumprenapara n á conxugación de números complexos cúmprense para a conxugación de números hipercomplexos.

  1. 1,0 1,1 Friedberg, Stephen; Insel, Arnold; Spence, Lawrence (2018). Linear Algebra (5 ed.). ISBN 978-0134860244. , Appendix D
  2. L. E. Sigler (Universidade de Bucknell) Álxebra, Reverté Publishing. Barcelona (1981) ISBN 84-291-5129- X

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]

Gerhard Merziger, Thomas Wirth (2006-03). Repetitorium der höheren Mathematik. p. 98. ISBN 978-3923923335. 

Outros artigos

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]