Saltar ao contido

Inverso multiplicativo

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Graph showing the diagrammatic representation of limits approaching infinity
A función recíproca: y = 1/x. Para cada x agás 0, y representa a súa inversa multiplicativa. A gráfica forma unha hipérbola rectangular.

En matemáticas, un inverso multiplicativo ou recíproco para un número x, denotado como 1/x ou x−1, é un número que cando se multiplica por x dá a identidade multiplicativa, 1. O inverso multiplicativo dunha fracción a/b é b/a. Por exemplo, o recíproco de 5 é un quinto (1/5 ou 0,2) e o recíproco de 0,25 é 1 dividido por 0,25 ou 4. A función recíproca, a función f(x) que asigna x a 1/x, é un dos exemplos máis sinxelos dunha función que é a súa propia inversa (unha involución).

Na frase inverso multiplicativo, o calificativo multiplicativo adoita omitirse e logo enténdese implicitamente (en contraste co inverso da suma). Os inversos multiplicativos pódense definir en moitos dominios matemáticos. Nestes casos pode ocorrer que abba; daquela "inverso" normalmente implica que un elemento é á vez un elemento inversa pola esquerda e pola dereita.

A notación f −1 ás veces tamén se usa para a función inversa da función f, que para a maioría das funcións non é igual á inversa multiplicativa. Por exemplo, o inverso multiplicativo 1/(sin x) = (sin x)−1 é a cosecante de x, e non o seno inverso de x indicado por sin−1 x ou arcsin x.

Nos números reais, o cero non ten un recíproco (a división por cero non está definida) porque ningún número real multiplicado por 0 produce 1. A propiedade de que todo elemento distinto de cero ten un inverso multiplicativo forma parte da definición dun corpo. Por outra banda, ningún número enteiro diferente a 1 e −1 ten un recíproco nos enteiros (o resultado sería un número con decimais), polo que os enteiros non son un corpo.

En aritmética modular, tamén se define o inverso multiplicativo modular de a: é o número x tal que ax ≡ 1 (mod n). Este inverso multiplicativo existe se e só se a e n son coprimos. Por exemplo, o inverso de 3 módulo 11 é 4 porque 4 ⋅ 3 ≡ 1 (mod 11) . O algoritmo de Euclides estendido pódese utilizar para calculalo.

Unha matriz cadrada ten unha inversa se e só se o seu determinante ten unha inversa no anel de coeficientes.

As dúas nocións de función inversa coinciden ás veces, por exemplo para a función onde é a rama principal do logaritmo complexo e :

.

As funcións trigonométricas están relacionadas pola identidade recíproca: a cotanxente é o recíproco da tanxente; a secante é o recíproco do coseno; a cosecante é o recíproco do seno.

Un anel no que cada elemento distinto de cero ten un inverso multiplicativo é un anel de división; do mesmo xeito, unha álxebra na que isto cúmprose é unha álxebra de división.

Números complexos

[editar | editar a fonte]

O recíproco de todo número complexo distinto de cero é complexo. Pódese atopar multiplicando a parte superior e inferior de 1/z polo seu complexo conxugado e utilizando a propiedade que , o valor absoluto de z cadrado, que é o número real a2 + b2 :

En particular, se || z ||=1 , entón . En consecuencia, as unidades imaxinarias, ±i, teñen inverso aditivo igual a inverso multiplicativo e son os únicos números complexos con esta propiedade. Por exemplo, os inversos aditivos e multiplicativos de i son −(i) = −i e 1/i = −i, respectivamente.

Para un número complexo en forma polar z = r(cos φ + i sin φ), o recíproco simplemente toma o valor recíproco da magnitude e negativo do ángulo:

Intuición xeométrica para a integral de 1/x. As tres integrais de 1 a 2, de 2 a 4 e de 4 a 8 son todas iguais. Cada rexión é a rexión anterior reducida á metade verticalmente e duplicada horizontalmente. Ampliando isto, a integral de 1 a 2k é k veces a integral de 1 a 2, do mesmo xeito que ln 2k = k ln 2.

No cálculo real, a derivada de 1/x = x−1 vén dada pola regra da potencia coa potencia −1:

A integral vén dada por: onde ln é o logaritmo natural. Para mostrar isto, teña en conta que , así que se e , temos:[1]

Algoritmos

[editar | editar a fonte]

O recíproco pódese calcular a man co uso da división longa.

Calcular o recíproco é importante en moitos algoritmos de división, xa que o cociente a/b pódese calcular primeiro calculando 1/b e despois multiplicándoo por a. Observando iso , ten un cero en x = 1/ b, co método de Newton pódese atopar ese cero, comezando cunha suposición e iterando usando a regra:

E repítese o bucle ata alcanzar a precisión desexada. Por exemplo, supoñamos que queremos calcular 1/17 ≈ 0,0588 con 3 díxitos de precisión. Tomando x0 = 0,1, prodúcese a seguinte secuencia:

x 1 = 0,1 (2 − 17 × 0,1) = 0,03
x 2 = 0,03 (2 − 17 × 0,03) = 0,0447
x 3 = 0,0447(2 − 17 × 0,0447) ≈ 0,0554
x 4 = 0,0554 (2 − 17 × 0,0554) ≈ 0,0586
x 5 = 0,0586 (2 − 17 × 0,0586) ≈ 0,0588

Esta iteración tamén se pode xeneralizar a un tipo máis amplo de inversos; por exemplo a matriz inversa.

Recíprocos de números irracionais

[editar | editar a fonte]

Todo número real ou complexo excluíndo o cero ten un recíproco, e os recíprocos de certos números irracionais poden ter propiedades especiais importantes.

Os exemplos inclúen o recíproco de e (≈ 0,367879) e o recíproco da razón áurea (≈ 0,618034). O primeiro recíproco é especial porque ningún outro número positivo pode producir un número inferior cando se eleva a unha potencia de si mesmo; é o mínimo global de . O segundo número é o único número positivo que é igual ao seu recíproco máis un: . O seu inverso aditivo é o único número negativo que é igual ao seu recíproco menos un: .

Para as raíces, cun método similar aos números complexos, podemos multiplicar e dividir polo propio número:

Isto leva a resultados curiosos como que o recíproco de é a súa metade.

A función recíproca xoga un papel importante nas fraccións continuas, que teñen unha serie de propiedades notables relacionadas coa representación de números (tanto racionais como irracionais).

Máis observacións

[editar | editar a fonte]

Se a multiplicación é asociativa, un elemento x cunha inversa multiplicativa non pode ser un divisor de cero (x é un divisor de cero se para algún y diferente de cero, xy = 0). Para ver isto, abonda con multiplicar a ecuación xy = 0 pola inversa de x (pola esquerda), e logo simplificar usando a asociatividade. En ausencia de asociatividade, os sedenións proporcionan un contraexemplo (na álxebra abstracta, os sedenions forman unha álxebra non conmutativa e non asociativa de 16 dimensións sobre os números reais, normalmente representados pola letra S maiúscula).

A viceversa non se verifica: un elemento que non é un divisor de cero non se garante que teña un inverso multiplicativo. Dentro de Z, todos os números enteiros agás −1, 0, 1 proporcionan exemplos; non son divisores de cero nin teñen inversos en Z . No entanto, se o anel ou a álxebra é finita, todos os elementos a que non son divisores de cero teñen un inverso (esquerda e dereita). Por exemplo, primeiro observe que o mapa f(x) = ax debe ser inxectivo: f(x) = f(y) implica x = y :

Elementos distintos mapean a elementos distintos, polo que a imaxe consta do mesmo número finito de elementos e o mapa é necesariamente sobrexectivo. En concreto, ƒ (é dicir, a multiplicación por a) debe mapear algún elemento x a 1, ax = 1, de xeito que x sexa inverso para a.

  1. Anthony, Dr. "Proof that INT(1/x)dx = lnx". Ask Dr. Math. Drexel University. Consultado o 22 March 2013. 

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]
  • Maximally Periodic Reciprocals, Matthews R.A.J. Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications vol 28 pp 147–148 1992

Outros artigos

[editar | editar a fonte]