Complexo conxugado

Representación xeométrica (diagrama de Argand) de $z$ e o seu conxugado ${\overline {z}}$ no plano complexo. O complexo conxugado atópase reflectindo $z$ a través do eixo real.

En matemáticas, o complexo conxugado dun número complexo é o número cunha parte real igual e unha parte imaxinaria igual en magnitude mais oposto en signo. É dicir, se $a$ e $b$ son números reais entón o complexo conxugado de $a+bi$ é $a-bi.$ O complexo conxugado de $z$ adoita denotarse como ${\overline {z}}$ ou $z^{*}$.

En forma polar, se $r$ e $\varphi$ son números reais daquela o conxugado de $re^{i\varphi }$ é $re^{-i\varphi }.$ Isto pódese mostrar usando a fórmula de Euler.

O produto dun número complexo e o seu conxugado é un número real: $a^{2}+b^{2}$ (ou $r^{2}$ en coordenadas polares).

Se unha raíz dun polinomio univariado con coeficientes reais é complexa, daquela o súa conxugada complexa tamén é unha raíz.

Propiedades

Para dous números complexos calquera, a conxugación é distributiva sobre a suma, resta, multiplicación e división:

${\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}},\\{\overline {z-w}}&={\overline {z}}-{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}},\quad {\text{and}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{if }}w\neq 0.\end{aligned}}$

Un número complexo é igual ao seu complexo conxugado se a súa parte imaxinaria é cero, é dicir, se o número é real. Noutras palabras, os números reais son os únicos puntos fixos de conxugación.

A conxugación non muda o módulo dun número complexo: $\left|{\overline {z}}\right|=|z|.$

A conxugación é unha involución, é dicir, o conxugado do conxugado dun número complexo $z$ é $z.$ En símbolos,

${\overline {\overline {z}}}=z.$

O produto dun número complexo co seu conxugado é igual ao cadrado do módulo do número:

$z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}.$

Isto permite o cálculo doado do inverso multiplicativo dun número complexo dado en coordenadas rectangulares:

$z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad {\text{ para todo }}z\neq 0.$

A conxugación é conmutativa baixo composición con exponenciación a potencias enteiras, coa función exponencial e co logaritmo natural para argumentos distintos de cero:

${\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad {\text{ para todos os }}n\in \mathbb {Z}$

$\exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}$

$\ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}{\text{ se }}z{\text{ é distinto de cero e real negativo }}$

Se $p$ é un polinomio con coeficientes reais e $p(z)=0,$ entón $p\left({\overline {z}}\right)=0$ tamén o sería. Así, as raíces non reais de polinomios reais ocorren en pares conxugados complexos (ver Teorema da raíz conxugada complexa).

En xeral, se $\varphi$ é unha función holomorfa cuxa restrición aos números reais ten valores reais, e $\varphi (z)$ e $\varphi ({\overline {z}})$ están definidos, daquela

$\varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!$

Usar como variábel

Unha vez dado un número complexo $z=x+yi$ ou $z=re^{i\theta }$, o seu conxugado é suficiente para reproducir as partes da variábel z:

• Parte real: $x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}$
• Parte imaxinaria: $y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}$
• Módulo (ou valor absoluto) : $r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$
• Argumento : $e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},$ por tanto $\theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}$

Conxugado dun hipercomplexo

A noción de número conxugado pódese estender a números hipercomplexos. Por exemplo, para un hipercomplexo (cuaternión ) temos:

$a+bi+cj+dk\mapsto a-bi-cj-dk$

Pódese ver que a operación unitaria de conxugación hipercomplexa é o único automorfismo que deixinvariante a o subconxunto dos números reais diferenteade identidade. As mesmas propiedades que scumprenapara n á conxugación de números complexos cúmprense para a conxugación de números hipercomplexos.

Véxase tamén

Bibliografía

Gerhard Merziger, Thomas Wirth (2006-03). Repetitorium der höheren Mathematik. p. 98. ISBN 978-3923923335. 

Outros artigos

• Número complexo.
• Plano complexo.
• Fórmula de Euler

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Complex Conjugate". MathWorld.