Involución (matemáticas)

Unha involución é unha función f : X → X que, aplicada dúas veces, devolve ao punto de partida.

En matemáticas, unha función de involución ou función autoinversa é unha función f que é a súa propia inversa,

f(f(x)) = x

para todo x no dominio de f . De forma equivalente, aplicar f dúas veces produce o valor orixinal.

Propiedades xerais

Calquera involución é unha bixección.

O mapa identidade é un exemplo trivial de involución. Exemplos de involucións non triviais inclúen a negación ( x ↦ −x ), a reciprocidade ( x ↦ 1/x ) e a conxugación complexa ( z ↦ z ) en aritmética; reflexión, rotación de media volta e inversión en relación a unha circunferencia en xeometría; complementación na teoría de conxuntos.

A composición g ∘ f de dúas involucións f e g é unha involución se e só se conmutan: g ∘ f = f ∘ g.

Involución nos distintos campos das matemáticas

Funcións con valores reais

A gráfica dunha involución (sobre os números reais) é simétrica a través da recta y = x.

Algúns exemplos básicos de involucións inclúen as funcións

${\begin{alignedat}{1}f(x)&=a-x\;,\\f(x)&={\frac {b}{x-a}}+a\end{alignedat}}$

A maiores, podemos construír unha involución envolvendo unha involución g nunha bixección h e a súa inversa ( $h^{-1}\circ g\circ h$ ). Por exemplo:

${\begin{alignedat}{2}f(x)&={\sqrt {1-x^{2}}}\quad {\textrm {en}}\;[0;1]&{\bigl (}g(x)=1-x\quad {\textrm {e}}\quad h(x)=x^{2}{\bigr )},\\f(x)&=\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}\right)&{\bigl (}g(x)={\frac {x+1}{x-1}}={\frac {2}{x-1}}+1\quad {\textrm {e}}\quad h(x)=e^{x}{\bigr )}\\\end{alignedat}}$

Xeometría euclidiana

Un exemplo sinxelo de involución do espazo euclidiano tridimensional é a reflexión a través dun plano. Realizar unha reflexión dúas veces trae un punto ás súas coordenadas orixinais.

Xeometría proxectiva

Unha involución é unha proxectividade de período 2, é dicir, unha proxectividade que troca pares de puntos.

Álxebra linear

En álxebra linear, unha involución é un operador linear T nun espazo vectorial, tal que T² = I. Agás na característica 2, eses operadores son diagonalizábeis para unha base dada con só 1s e −1s na diagonal da matriz correspondente. Se o operador é ortogonal (unha involución ortogonal), é diagonalizábel ortonormalmente.

Por exemplo, supoña que se escolle unha base para un espazo vectorial V e que e₁ e e₂ son elementos de base. Existe unha transformación linear f que envía e₁ a e₂, e envía e₂ a e₁, e esa é a identidade en todos os demais vectores da base. Pódese comprobar que f(f(x)) = x para todo x en V. É dicir, f é unha involución de V.

Teoría dos aneis

Na teoría de aneis, a palabra involución adoita tomarse para significar un antihomomorfismo que é a súa propia función inversa. Exemplos de involucións en aneis comúns:

• conxugación complexa no plano complexo, e o seu equivalente nos números complexos hiperbólicos.
• a transposta nun anel de matrices.

Teoría de grupos

Unha permutación é unha involución se e só se pode escribirse como un produto finito de transposicións disxuntas.

As involucións dun grupo teñen un gran impacto na estrutura do grupo. O estudo das involucións foi fundamental na clasificación de grupos finitos simples.

Os grupos de Coxeter son grupos xerados por un conxunto S de involucións suxeitos só a relacións que implican potencias de pares de elementos de S. Os grupos de Coxeter pódense utilizar, entre outras cousas, para describir os posíbeis poliedros regulares e as súas xeneralizacións a dimensións superiores.

Lóxica matemática

A operación do complemento nas álxebras booleanas é unha involución. En consecuencia, a negación na lóxica clásica cumpre a lei da dobre negación: ¬¬A equivale a A.

Informática

A operación XOR bit a bit cun valor dado para un parámetro é unha involución do outro parámetro. Nalgúns casos, as máscaras XOR usáronse para debuxar gráficos en imaxes de tal xeito que debuxándoos dúas veces no fondo volva o fondo ao seu estado orixinal.

Física

A transformación de Legendre, que converte entre o Lagrangiano e o Hamiltoniano, é unha operación involutiva.

Véxase tamén

Bibliografía

• Ell, Todd A.; Sangwine, Stephen J. (2007). "Quaternion involutions and anti-involutions". Computers & Mathematics with Applications 53 (1): 137–143. arXiv:math/0506034. doi:10.1016/j.camwa.2006.10.029. 
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998). The book of involutions. Colloquium Publications 44. With a preface by J. Tits. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0904-0. Zbl 0955.16001. 
• "Involution". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 

Outros artigos

• Idempotencia.
• Automorfismo.