Mecánica lagranxiana

A mecánica lagranxiana é unha reformulación da mecánica clásica introducida por Lagrange en 1788. Na mecánica lagranxiana, a traxectoria dun obxecto é derivada atopando a traxectoria que reduce ó mínimo a acción, que é a suma do lagranxiano ó longo do tempo; e este é a enerxía cinética menos a enerxía potencial.

A formulación lagranxiana simplifica moitos problemas físicos. Por exemplo, os sistemas de referencia inerciais son tratados en pé de igualdade e a diferenza das leis de Newton, a forma das ecuacións do movemento non depende do sistema de referencia elixido.

Motivación

A utilidade da formulación lagranxiana apréciase ata en exemplos sinxelos. Por exemplo, considérese unha conta nun aro. Se se calculara o movemento da conta usando a mecánica newtoniana, teríamos un sistema complicado de ecuacións que considerarían as forzas que o aro exerce na conta en cada momento. Ollaríamos todos os movementos posibles que a conta podería tomar no aro e atoparíamos matematicamente o que reduce ó mínimo a acción. Hai moi poucas ecuacións posto que non estamos calculando directamente a influencia do aro na conta nun momento dado. Outro exemplo é o caso do estudo do movemento nun sistema que vira, por exemplo o planeta Terra: na formulación newtoniana é necesario introducir a man as forzas ficticias ou forzas de inercia como a forza centrípeta ou a forza de Coriolis mentres que na formulación lagranxiana estas aparecen de modo natural.

Estes dous problemas considerados anteriormente son moito máis sinxelos de resolver empregando a formulación lagranxiana.

Ecuacións de Lagrange

As ecuacións do movemento en mecánica lagranxiana son as ecuacións de Lagrange, tamén coñecidas como as ecuacións de Euler-Lagrange. A continuación bosquexamos a derivación da ecuación de Lagrange das leis de Newton do movemento. (Ver as referencias para derivacións máis detalladas e máis xerais).

Considere unha soa partícula con masa m e o vector de posición r. A forza aplicada, F, se é unha forza conservativa pode ser expresada como o gradiente dunha función potencial escalar V(r, t):

$\mathbf {F} =-\nabla V$

tal forza é independente das terceiras (ou de orde superior) derivadas de r, xa que logo a segunda lei de Newton forma un sistema de 3 ecuacións diferenciables ordinarias de segunda orde. Polo tanto, o movemento da partícula pódese describir totalmente por 6 variables independentes, ou graos de liberdade. Un sistema obvio de variables é {r_j, r′_j|j = 1, 2, 3}, as compoñentes cartesianos de r e as súas derivadas temporais, nun instante dado do tempo.

Máis xeralmente, podemos traballar cun sistema de coordenadas xeneralizadas e das súas derivadas temporais, as velocidades xeneralizadas: {q_j, q′_j}. r está relacionado coas coordenadas xeneralizadas por unha ecuación de transformación:

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{1},q_{2},q_{3},t)$

Considere un desprazamento arbitrario δr da partícula. O traballo feito pola forza aplicada F é δW = F · δr.

Usando a segunda lei de Newton, obtemos:

${\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&m\mathbf {r} ''\cdot \delta \mathbf {r} \end{matrix}}$

xa que o traballo é unha cantidade escalar física, debemos poder poñer esta ecuación en termos das coordenadas e das velocidades xeneralizadas. No lado esquerdo,

${\begin{matrix}\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} &=&-\nabla V\cdot \sum _{i}{\partial r \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum _{i,j}{\partial V \over \partial r_{j}}{\partial r_{j} \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\\&=&-\sum _{i}{\partial V \over \partial q_{i}}\delta q_{i}\\\end{matrix}}$

O dereito é máis difícil, pero logo temos:

$m\mathbf {r''} \cdot \delta \mathbf {r} =\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_{i}}-{\partial T \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}$

onde T = 1/2m r′ ² é a enerxía cinética da partícula. A nosa ecuación para o traballo realizado convértese así en

$\sum _{i}\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {q'_{i}}}-{\partial {(T-V)} \over \partial q_{i}}\right]\delta q_{i}=0$

porén, esta debe ser verdade para calquera conxunto de desprazamentos xeneralizados δq_i, polo que

$\left[{d \over dt}{\partial {T} \over \partial {q'_{i}}}-{\partial {(T-V)} \over \partial q_{i}}\right]=0$

para cada coordenada xeneralizada δq_i. Podemos simplificar aínda máis observando que V é unha función só de r e t, e r das coordenadas xeneralizadas e t. Polo tanto, V é independente das velocidades xeneralizadas:

${d \over dt}{\partial {V} \over \partial {q'_{i}}}=0$

Inserindo isto na ecuación anterior e substituíndo L = T - V, obtemos as ecuacións de Lagrange:

${\partial {L} \over \partial q_{i}}={d \over dt}{\partial {L} \over \partial {q'_{i}}}$

Hai unha ecuación de Lagrange para cada coordenada xeneralizada qi. Cando qi = ri (é dicir, as coordenadas xeneralizadas son sinxelamente as coordenadas cartesianas), é inmediato comprobar que as ecuacións de Lagrange redúcense á segunda lei de Newton.

A derivación anterior pódese xeneralizar a un sistema de N partículas. Haberá 6N coordenadas xeneralizadas, relacionadas ás coordenadas de posición por 3N ecuacións de transformación. En cada unha das 3N ecuacións de Lagrange, T é a enerxía cinética total do sistema, e V a enerxía potencial total.

Na práctica, é a miúdo máis fácil solucionar un problema usando as ecuacións de Euler-Lagrange que as leis de Newton. Isto é porque as coordenadas xeneralizadas apropiadas qi pódense elixir para aproveitar as simetrías no sistema.

Principio de Hamilton

A acción, denotada por S, é a integral temporal do lagranxiano:

$S=\int L\,dt$

Sexan q0 e q1 as coordenadas nos instantes inicial e final, t0 e t1 respectivamente. Usando o cálculo de variacións, pódese amosar que as ecuacións de Lagrange son equivalentes ó Principio de Hamilton:

o sistema experimenta aquela traxectoria entre t0 e t1 cuxa acción ten un valor estacionario.

Por estacionario, entendemos que a acción non varía na primeira orde para as deformacións infinitesimais da traxectoria, cos puntos límites (q0, t0) e (q1, t1) fixados. O principio de Hamilton pódese escribir como:

δS = 0

Así, no canto de pensar en partículas que aceleran en resposta a forzas aplicadas, un pode pensar nelas seleccionando a traxectoria cunha acción estacionaria.

O principio de Hamilton é coñecido, ás veces, como principio de mínima acción. Con todo, isto non é apropiado: a acción só necesita ser estacionaria, e a traxectoria correcta poderíase producir por un máximo, punto de ensilladura, ou mínimo na acción.

Extensións da mecánica lagranxiana

O hamiltoniano, denotado por H, é obtido executando unha transformación de Legendre no lagranxiano. O hamiltoniano é a base para unha formulación alternativa da mecánica clásica coñecida como mecánica hamiltoniana. É unha cantidade particularmente ubicua na mecánica cuántica.

No 1948, Feynman descubriu a formulación por integral de traxectorias estendendo o principio de menor acción á mecánica cuántica. Nesta formulación, as partículas percorren cada traxectoria posible entre os estados iniciais e finais; a probabilidade dun estado final específico é obtida sumando sobre todas as traxectorias posibles que conduce a el. No réxime clásico, a formulación por integral de traxectorias reproduce o principio de Hamilton.

Mecánica lagranxiana en variedades diferenciables

A formulación máis moderna da mecánica lagranxiana realízase con toda xeneralidade sobre unha variedade diferenciable chamada espazo fásico (ou espazo das fases) Γ (gamma) que se constrúe como o fibrado tanxente do chamado espazo de configuración.

Sobre o espazo fásico de dimensión 2N, , sendo N o número de graos de liberdade, defínese unha función lagranxiana, que pode expresarse termos dunha carta local de coordenadas sobre ℝ^2N:

${\mathcal {L}}:\Gamma \to \mathbb {R} \qquad {\mathcal {L}}(p;\mathbf {v} )=L(q_{1},...,q_{N};{\dot {q}}_{1},...,{\dot {q}}_{N})\,$

Notas

• Goldstein, H.: "Mecánica clásica", Ed. Reverté, 1994.

Véxase tamén

• Para un enfoque máis moderno, ver lagranxiano.
• Teorema de Noether

Ligazóns externas

• Rychlik, Marek: mecánicas lagranxiana e hamiltoniana - breve introdución (inglés) Arquivado 07 de novembro de 2005 en Wayback Machine.
• Lagrange (en español)