Cálculo de variacións

O cálculo de variacións é un problema matemático consistente en buscar máximos e mínimos (ou máis xeralmente extremos relativos) de funcionais continuos definidos sobre algún espazo funcional.

Constitúen unha xeneralización do cálculo elemental de máximos e mínimos de funcións reais dunha variable

Historia

O cálculo de variacións desenvolveuse a partir do problema da curva braquistócrona, exposto inicialmente por Johann Bernoulli (1696). Inmediatamente este problema captou a atención de Jakob Bernoulli e o marqués de L'Hôpital, aínda que foi Leonhard Euler o primeiro que elaborou unha teoría do cálculo variacional. As contribucións de Euler iniciáronse en 1733 coa súa Elementa Calculi Variationum ("Elementos do cálculo de variacións") que deu nome á disciplina.

Lagrange contribuíu cumpridamente á teoría e Legendre (1786) asentou un método, non enteiramente satisfactorio para distinguir entre máximos e mínimos. Isaac Newton e Gottfried Leibniz tamén prestaron atención a este asunto. Outros traballos destacados foron os de Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mikhail Ostrogradski (1834) e Carl Jacobi (1837). Un traballo xeral particularmente importante é o de Sarrus (1842) que foi resumido por Cauchy (1844). Outros traballos destacados posteriores son os de Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) e Carll (1885), aínda que quizais o máis importante dos traballos durante o século XIX é o de Weierstrass. Este importante traballo foi unha referencia estándar e é o primeiro que trata o cálculo de variacións sobre unha base firme e rigorosa. Os problemas 20 e 23 de Hilbert expostos en 1900 estimularon algúns desenvolvementos posteriores. Durante o século XX, David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue e Jacques Hadamard, entre outros, fixeron contribucións notables. Marston Morse aplicou o cálculo de variacións ao que actualmente se coñece como teoría de Morse. Lev Semenovich Pontryagin, Ralph Rockafellar e Clarke desenvolveron novas ferramentas matemáticas dentro da teoría do control óptimo, xeneralizando o cálculo de variacións.

Problema isoperimétrico

Cal é a área máxima A que pode rodearse cunha curva de lonxitude L dada? De non existiren restricións adicionais, a solución é:

$A={\frac {L^{2}}{4\pi }}$

que é o valor que se obtén para un círculo de raio $R=L/2\pi$ .

Se se impoñen restricións adicionais a solución é diferente. Un exemplo é se se supón que L se considera sobre unha función $f(x)$ e os extremos da curva están sobre os puntos $A=(a,0),B=(b,0)$ onde a distancia entre eles está dada. É dicir $AB=L\,$ . O problema de achar unha curva que maximice a área entre ela e o eixe X sería atopar unha función $f(x)$ de modo que:

$\max _{f:[a,b]\to \mathbb {R} }I[f]=\int _{a}^{b}f(x)dx$

coas restricións:

${\begin{cases}G[f]=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx=L&{\mbox{longitud de arco}}\\f(a)=f(b)=0\end{cases}}$

Braquistócrona

O problema da curva braquistócrona remóntase a Jakob Bernoulli (1696). Refírese a atopar unha curva no plano cartesiano que vaia do punto $P=(x_{0},y_{0})$ á orixe de modo que un punto material que se desliza sen fricción sobre ela tarda o menor tempo posible en ir de $P$ á orixe. Usando principios de mecánica clásica o problema pode formularse como,

$\min _{f}T[f]=\int _{0}^{x_{0}}{\frac {\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}\ dx$

onde g é a gravidade e as restricións son, $f(0)=0$ , $f(x_{0})=y_{0}$ . Hai que notar que en $x=x_{0}$ existe unha singularidade.

Formulación xeral

Un dos problemas típicos en cálculo diferencial é o de atopar o valor de $x\,$ para o cal a función $f(x)\,$ alcanza un valor extremo (máximo ou mínimo). No cálculo de variacións o problema é atopar unha función $f(x)$ para a cal un funcional $J[f]\,$ alcance un valor extremo. O funcional $J[f]$ está composto por unha integral que depende de $x$ , da función $f(x)$ e algunhas das súas derivadas.

(1a)
$\max _{f}/\min _{f}\left\{I[f]=\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(x,f(x),f'(x),f''(x),\dots ,f^{(n}(x))\,dx\right\}$

Onde a función $f(x)$ pertence a algún espazo de funcións (espazo de Banach, espazo de Hilbert), e tanto ela como as súas derivadas poden ter restricións. Esta fórmula integral pode ser máis complicada permitindo a $x$ ser un vector, e polo tanto incluíndo derivadas parciais para $f$ :

(1b)
$\max _{\mathbf {f} }/\min _{\mathbf {f} }\left\{J[\mathbf {f} ]=\int _{{\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\mathbf {f} (\mathbf {x} ),D\mathbf {f} (\mathbf {x} ),\dots ,D^{n}\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\,d^{n}\mathbf {x} \right\}$

Espazos funcionais

A fundamentación rigorosa do cálculo de variacións require considerar variedades diferenciais lineares de dimensión infinita. De feito o punto de partida do cálculo de variacións é un teorema da análise funcional que proba que é posible considerar unha curva nun espazo funcional (p.ex. traxectoria no espazo fásico) simplemente como unha función cunha variable adicional, concretamente:^[1]

A categoría formada por espazos vectoriais convenientes e funcións suaves entre eles é pechada polo produto cartesiano, de tal manera que se ten a seguinte bixección natural:

$C^{\infty }(E\times F,G)\approx C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))$

onde $\scriptstyle E,F$ son espazos vectoriais convenientes e a bixección anterior é un difeomorfismo.

O teorema anterior pode aplicarse por exemplo ao principio de mínima acción onde trata de atoparse a traxectoria posible no espazo de fases que fai mínima a integral de acción. Dita traxectoria é unha curva suave no espazo de traxectorias E, considerando agora:

$E=C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n}),\quad F=G=\mathbb {R}$

Tense que o problema de minimización pode reducirse a minimizar unha certa función real f de variable real:

$f_{q_{0}}(\varepsilon ):=S[q_{0}+\varepsilon \delta q],\qquad S:\mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} ,\ S[q]:=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)\ dt,\ q(t)\in \mathbb {R} ^{n}$

Extremos relativos débiles e fortes

Un problema variacional require que o funcional $\scriptstyle J(f)$ estea definido sobre un espazo de Banach $\scriptstyle (V,\|\cdot \|_{V})$ adecuado. A norma vectorial de devandito espazo é o que permite definir rigorosamente se unha solución é un mínimo ou un máximo relativo. Por exemplo unha función $\scriptstyle f_{0}$ é un mínimo relativo se existe un certo $\scriptstyle \delta >0$ tal que, para toda función $\scriptstyle f$ se cumpre que: