Espazo de Hilbert

En matemáticas, un espazo de Hilbert é unha xeneralización do concepto de espazo euclidiano. Esta xeneralización permite que nocións e técnicas alxébricas e xeométricas aplicables aos espazos de dimensión dous e tres se estendan a espazos de dimensión arbitraria, incluíndo espazos de dimensión infinita. Exemplos desas nocións e técnicas son a de ángulo entre vectores, ortogonalidade de vectores, o teorema de Pitágoras, proxección ortogonal, distancia entre vectores e converxencia dunha sucesión. O nome dado a estes espazos é en honor ao matemático David Hilbert quen os empregou no seu estudo das ecuacións integrais.

Máis formalmente, defínese como un espazo de produto interior que é completo con respecto á norma vectorial definida polo produto interior. Os espazos de Hilbert serven para clarificar e para xeneralizar o concepto de series de Fourier, certas transformacións lineares tales como a transformación de Fourier, e son de importancia crucial na formulación matemática da mecánica cuántica.

Os espazos de Hilbert e as súas propiedades estúdanse dentro da análise funcional.

Introdución

Cada produto interior <.,.> nun espazo vectorial H, que pode ser real ou complexo, dá lugar a unha norma ||.|| que se define como:

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$

H é un espazo de Hilbert se é completo con respecto a esta norma. Completo neste contexto significa que calquera sucesión de Cauchy de elementos do espazo converxe a un elemento no espazo, no sentido que a norma das diferenzas tende a cero. Cada espazo de Hilbert é xa que logo un espazo de Banach (pero non ao contrario).

Todos os espazos finito-dimensionais con produto interior (tales como o espazo euclidiano co produto escalar ordinario) son espazos de Hilbert. Isto permite que poidamos extrapolar nocións dende os espazos de dimensión finita aos espazos de Hilbert de dimensión infinita (por exemplo os espazos de funcións). Porén, os exemplos infinito-dimensionais teñen moitas máis aplicacións. Estas inclúen:

• A teoría das representacións do grupo unitarias.
• A teoría dos procesos estocásticos cadrado integrables.
• A teoría en espazos de Hilbert de ecuacións diferenciais parciais, en particular formulacións do problema de Dirichlet.
• Análise espectral de funcións, incluíndo teorías de wavelets.
• Formulacións matemáticas da mecánica cuántica.

O produto interior permite que se adopte unha visión "xeométrica" e que se utilice a linguaxe xeométrica familiar dos espazos de dimensión finita. De todos os espazos vectoriais topolóxicos infinito-dimensionais, os espazos de Hilbert son os de "mellor comportamento" e os máis próximos aos espazos finito-dimensionais.

Os elementos dun espazo de Hilbert abstracto chámanse ás veces "vectores". Nas aplicacións, son tipicamente sucesións de números complexos ou de funcións. Na mecánica cuántica por exemplo, un conxunto físico é descrito por un espazo complexo de Hilbert que conteña as "funcións de ondas" para os estados posibles do conxunto.

Unha das metas do análise de Fourier é facilitar un método para escribir unha función dada como a suma (posiblemente infinita) de múltiplos de funcións baixas dadas. Este problema pódese estudar de xeito abstracto nos espazos de Hilbert: cada espazo de Hilbert ten unha base ortonormal, e cada elemento do espazo de Hilbert pode escribirse nun xeito único como suma de múltiplos destes elementos baixos.

Os espazos de Hilbert denomináronse así por David Hilbert, que os estudou no contexto das ecuacións integrais. A orixe da designación, aínda que é confuso, foi empregado xa por Hermann Weyl no seu famoso libro a teoría de grupos e a mecánica cuántica publicado en 1931. John von Neumann foi quizais o matemático que máis claramente recoñeceu a súa importancia.

Exemplos

Nos seguintes exemplos, asumiremos que o corpo subxacente de escalares é $\mathbb {C}$, aínda que as definicións son similares ao caso de que o corpo subxacente de escalares sexa $\mathbb {R}$.

Espazos euclidianos

O primeiro exemplo constitúeno os espazos de dimensión finita co produto escalar ordinario. Noutras palabras, $\mathbb {C}$ⁿ coa definición de produto interior seguinte:

$\langle x,e\rangle =\sum _{k=1}^{n}{\overline {x_{k}}}y_{k}$

onde a barra sobre un número complexo denota a súa conxugación complexa.

Espazos de sucesións

Os espazos de Hilbert non necesariamente teñen dimensión finita, de feito en moitas aplicacións tipicamente o espazo de Hilbert considerado é un espazo de Hilbert infinito-dimensional. Un dos exemplos de espazo de Hilbert de dimensión infinita é o seguinte: se B é un conxunto, definimos $\ell ^{2}(B)$ sobre B, da forma:

$\ell ^{2}(B)=\left\{x:B\rightarrow \mathbb {C} :\sum _{b\in B}\left|x\left(b\right)\right|^{2}<\infty \right\}$

Este espazo convértese nun espazo de Hilbert co produto interior

$\langle x,e\rangle =\sum _{b\in B}{\overline {x(b)}}y(b)$

para todo x e y en $\ell ^{2}(B)$. B non ten por que ser un conxunto numerable nesta definición, aínda que se B non é numerable, o espazo de Hilbert que resulta non é separable. Expresado de xeito máis concreto, cada espazo de Hilbert é isomorfo a un da forma $\ell ^{2}(B)$ para un conxunto adecuado B. Se B = N, escríbese simplemente $\ell ^{2}$. Algúns exemplos de sucesións de $\ell ^{2}=\ell ^{2}(\mathbb {N} )$:

$v=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right)\in \ell ^{2},\qquad \|v\|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

En cambio:

$w=\left(1,{\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}},\dots \right)\notin \ell ^{2},\qquad \|w\|{\text{ non está definida, xa que }}\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\infty$

Espazos de Lebesgue

Outro exemplo interesante de espazos de Banach de dimensión infinita son os espazos L^p. Estes son espazos funcionais asociados a espazos de medida (X, M, μ), onde M é unha σ-álxebra de subconxuntos de X e μ é unha medida numerablemente aditiva en M. Se p = 2 estes espazos son ademais un espazo de Hilbert, sexa por tanto, L² _μ(X) o espazo de funcións medibles cadrado-integrables complexo-valoradas en X, módulo o subespazo desas funcións cunha integral cuadrática que sexa cero, ou equivalentemente igual a cero case por todas as partes. Cadrado integrable significa que a integral do cadrado do seu valor absoluto é finita. Módulo igualdade case por todas as partes significa que as funcións son identificadas se e só se son iguais agás nun conxunto de medida 0.

O produto interior das funcións f e g dáse como:

$\langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\ d\mu (t)$

Precísase demostrar:

• Que esta integral ten de feito sentido.
• Que o espazo que resulta é completo.

Estes son feitos tecnicamente doados. Cómpre observar que ao empregar a integral de Lebesgue asegúrase de que o espazo sexa completo.

Espazos de Sobolev

Os espazos de Sobolev, denotados por $W^{m,p}(\Omega )\,$ son outro exemplo de espazos de Hilbert, que adoitan empregarse no marco das ecuacións en derivadas parciais definidas sobre un certo dominio $\Omega \,$. Os espazos de Sobolev xeneralizan os espazos L^p.

Ademais dos espazos de Sobolev xerais $W^{m,p}\,$ úsanse certas notacións particulares para certo tipo de espazos:

• $H^{m}(\Omega )=W^{m,2}(\Omega )\,$
• $H_{0}^{m}(\Omega )=\{f\in H^{m}(\Omega )|\ f|_{\partial \Omega }=0\}$

Bases ortonormais

Un concepto importante é o dunha base ortonormal dun espazo de Hilbert H: esta é unha familia {e_k}_{k ∈ B} de H 'satisfaciendo:

• Os elementos están normalizados: Cada elemento da familia ten norma 1: ||e_k|| = 1 para todo k en B
• Os elementos son ortogonais: dous elementos calquera de B son ortogonais; isto quere dicir: <e_k, e_j> = 0 para todos os k, j en B cumprindo a condición j ≠ k.
• Expansión densa: a expansión linear de B é densa en H.

Tamén empregamos as expresións secuencia ortonormal e conxunto ortonormal. Os exemplos de bases ortonormais inclúen:

• O conxunto {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} forma unha base ortonormal de R³
• A secuencia {f_n: n ∈ Z} con f_n(x) = exp(2πinx) forma unha base ortonormal do espazo complexo L²([0, 1])
• A familia {e_b: b ∈ B} con e_b(c) = 1 se b = c e 0 en caso contrario, forma unha base ortonormal de l²(B).

Cómpre observar que no caso infinito-dimensional, unha base ortonormal non será unha base no sentido da álxebra linear; para distinguir as dúas, a última base chámase base de Hamel.

Usando o lema de Zorn, pódese demostrar que cada espazo de Hilbert admite unha base ortonormal; ademais, dúas bases ortonormais calquera do mesmo espazo teñen o mesmo cardinal. Un espazo de Hilbert é separable se e só se admite unha base ortonormal numerable.

Posto que todos os espazos separables infinito-dimensionais de Hilbert son isomorfos, e posto que case todos os espazos de Hilbert usados na física son separables, cando os físicos falan de espazo de Hilbert queren significar o separable.

Se {e_k}_{k ∈ B} é unha base ortonormal de H, entón cada elemento x de H pode escribirse como:

$x=\sum _{k\in B}\langle e_{k},x\rangle e_{k}$

Mesmo se B non é numerable, case todos os termos nesta suma serán iguais a cero, e a expresión está polo tanto ben definida. Esta suma tamén se chama a expansión de Fourier de x.

Si {e_k}_{k ∈ B} é unha base ortonormal de H, entón H é isomorfo a l²(B) no sentido seguinte: existe unha función linear bixectiva Φ : H → l²(B) tal que

$\langle \Phi \left(x\right),\Phi \left(y\right)\rangle =\langle x,e\rangle$

para todo x e y en H.

Operacións nos espazos de Hilbert

Suma directa e produto tensorial

Dados dous (o máis) espazos de Hilbert, podemos combinalos nun espazo máis grande de Hilbert tomando a súa suma directa ou o seu produto tensorial. A primeira construción baséase na unión de conxuntos e a segunda no produto cartesiano.

A suma directa require que $H_{1}\cap H_{2}=\{0\}$, e é o mínimo espazo de Hilbert que "contén" a unión dos dous conxuntos:

$H_{1}\cup H_{2}\hookrightarrow H_{1}\oplus H_{2},\qquad {\mbox{dim}}(H_{1}\oplus H_{2})={\mbox{dim}}(H_{1})+{\mbox{dim}}(H_{2})$

Mentres que o produto tensorial é o mínimo espazo de Hilbert que "contén" o produto castesiano:

$H_{1}\times H_{2}\hookrightarrow H_{1}\otimes H_{2},\qquad {\mbox{dim}}(H_{1}\otimes H_{2})={\mbox{dim}}(H_{1})\cdot {\mbox{dim}}(H_{2})$

Complementos e proxeccións ortogonais

Se S é un subconxunto do espazo de Hilbert H, definimos o conxunto de vectores ortogonais a S

$S^{\bot }=\left\{x\in H:\langle x,s\rangle =0\ \forall s\in S\right\}$

$\scriptstyle S^{\bot }$ é un subespazo pechado de H e forma, polo tanto, un espazo de Hilbert. Se V é un subespazo cerrado de H, entón o $\scriptstyle V^{\bot }$ chámase o complemento ortogonal de V. De feito, cada x en H pode entón escribirse univocamente como x = v + w con v en V e w en $\scriptstyle V^{\bot }$. Polo tanto, H é a suma directa interna de Hilbert de Vy $\scriptstyle V^{\bot }$. O operador linear P_V : H → H que leva x en v chámase a proxección ortogonal sobre V.

Teorema. A proxección ortogonal P_V é un operador linear auto-adxunto en H con norma ≤ 1 coa propiedade P_V² = P_V. Por outra banda, calquera operador linear E auto-adxunto tal que E² = E é da forma P_V, onde V é o rango de E. Para cada x en H, P_V(x) é o elemento único v en V que minimiza a distancia ||x - v||.

Isto proporciona a interpretación xeométrica de P_V(x): é a mellor aproximación a x por un elemento de V.

Reflexividade

Unha propiedade importante de calquera espazo de Hilbert é a súa reflexividade, é dicir, o seu espazo bidual (dual do dual) é isomorfo ao propio espazo. De feito, se ten aínda máis, o propio espazo dual é isomorfo ao espazo orixinal. Tense unha descrición completa e conveniente do espazo dual (o espazo de todas as funcións lineares continuas do espazo H no corpo base), que é en si mesmo un espazo de Hilbert. De feito, o teorema de representación de Riesz establece que para cada elemento φ do H ' dual existe un e só un u en H tal que

$\phi \left(x\right)=\langle u,x\rangle$

para todo x en H e a asociación φ ↔ u proporciona un isomorfismo antilinear entre H e H '.

Operadores en espazos de Hilbert

Operadores limitados

Para un espazo H de Hilbert, os operadores lineares continuos A: H → H son de interese particular. Un operador continuo é limitado no sentido que aplica conxuntos limitados a conxuntos limitados. Isto permite definir a súa norma como

$\lVert A\rVert =\sup \left\{\,\lVert Ax\rVert :\lVert x\rVert \leq 1\,\right\}.$

A suma e a composición de dous operadores lineares continuos son á súa vez continuos e lineares. Para y en H, a función que envía x a <y, Ax> é linear e continua, e segundo o teorema de representación de Riesz pódese polo tanto representar na forma

$\langle A^{*}y,x\rangle =\langle y,Ax\rangle .$

Isto define outro operador linear continuo A^*: H → H, o adxunto de A.

O conxunto L(H) de todos os operadores lineares continuos en H, xunto coa adición e as operacións de composición, a norma e a operación adxunto, forman unha C^*-álxebra; de feito, esta é a orixe da motivación e o máis importante exemplo dunha C^*-álxebra.

Un elemento A en L(H) chámase auto-adxunto ou hermitiano se A^* = A. Estes operadores comparten moitas propiedades dos números reais e vense ás veces como xeneralizacións deles.

Un elemento U de L(H) chámase unitario se U é invertible e o seu inverso vén dado por U^*. Isto pode tamén expresarse requirindo que <Ux, Uy> = <x, y> para todos os x, y en H. Os operadores unitarios forman un grupo baixo composición, que se pode ver como o grupo de automorfismos de H.

Operadores non limitados

En mecánica cuántica, tamén se consideran operadores lineares, que non necesariamente son continuos e que non necesariamente están definidos en todo espazo H. Requírese só que se definan nun subespazo denso de H. É posible definir operadores non limitados auto-adxuntos, e estes desempeñan o papel dos observables na formulación matemática da mecánica cuántica.

Exemplos de operadores non limitados auto-adxuntos no espazo de Hilbert L²(R) son:

• Unha extensión conveniente do operador diferencial

$[Af](x)=-i{\frac {d}{dx}}f(x),\quad$

onde i é a unidade imaxinaria e f é unha función diferenciable de soporte compacto.

• O operador de multiplicación por x:

$[Bf](x)=xf(x).\quad$

estes corresponden aos observables de momento e posición, respectivamente, expresados en unidades atómicas. Cómpre observar que nin A nin B se definen en todo H, posto que no caso de A a derivada non necesita existir, e no caso de B a función do produto non precisa ser cadrado-integrable. En ambos os casos, o conxunto de argumentos posibles forman subespazos densos de L²(R).

Véxase tamén

Bibliografía

• Dieudonne, Jean Alexandre (1966). Fundamentos de análise moderno. Barcelona: Reverté. ISBN 9788429150605.