Representación de grupo

No estudo dos grupos en álxebra, unha representación de grupo é unha "descrición" dun grupo como grupo concreto de transformacións (ou grupo de automorfismos) dun certo obxecto matemático. Máis formalmente, a "descrición" significa que hai un homomorfismo do grupo a un certo grupo de automorfismos. Unha representación fiel é unha na cal este homomorfismo é inxectivo.

Primeiros exemplos

Ás veces utilízase realización para esta noción, reservando o termo representación para o que despois se chamará representacións lineares. A teoría da representación divídese en subteorías dependendo da clase de grupo que se representa. As divisións máis importantes son:

• Grupos finitos: as representacións de grupo son unha ferramenta moi importante no estudo de grupos finitos. Tamén aparecen en certas aplicacións da teoría de grupos finitos cristalografía e en xeometría. O caso especial onde a representación é sobre un corpo de característica p e p divide a orde do grupo, chamada teoría da representación modular, ten propiedades moi diversas.
• Grupos topolóxicos compactos ou localmente compactos: moitos dos resultados da teoría de representación de grupos finitos próbanse facendo unha media sobre o grupo. Estas probas pódense transportar aos grupos infinitos se a media se substitúe por unha integral, o que só funciona se se pode definir unha noción aceptable de integral. Isto pódese facer para os grupos localmente compactos, usando a medida de Haar. A teoría que resulta é unha parte central da análise harmónica. A dualidade de Pontryagin describe a teoría para os grupos conmutativos, como transformación de Fourier xeneralizada.
• Grupos de Lie: Moitos grupos de Lie importantes son compactos, así que os resultados da teoría compacta de representación aplícanse a eles. Tamén se utilizan outras técnicas específicas dos grupos de Lie. A maioría dos grupos importantes na física e a química son grupos de Lie, e a teoría de representación é crucial para o uso da teoría de grupos neses campos.
• Grupos topolóxicos non compactos: A clase de grupos non compactos é demasiado ampla para construír calquera teoría xeral de representación, pero estudáronse casos especiais específicos, ás veces empregando técnicas ad hoc. Os grupos de Lie semisimples teñen unha teoría profunda, baseada no caso compacto. Os grupos de Lie solubles non poden ser clasificados da mesma maneira. A teoría xeral para os grupos de Lie ocúpase dos produtos semidirectos dos dous tipos, por medio dos resultados xerais chamados teoría de Mackey, que é unha xeneralización dos métodos de clasificación de Wigner.

Dentro dunha clase dada de teoría de representación, os resultados diferéncianse dependendo da clase de grupo de automorfismos que se busque. Un posible albo para o homomorfismo da definición son os grupos de permutacións. Pero os albos máis importantes son grupos de matrices sobre algúns corpos, ou, máis xeralmente, grupos de transformacións lineares invertibles dun espazo vectorial.

O caso máis importante é o corpo dos números complexos (é dicir, as representacións son homomorfismos nun grupo de matrices complexas ou de transformacións lineares invertibles dun espazo vectorial complexo). Se o espazo vectorial é finito dimensional, entón as representacións son tamén finito dimensionais. As representacións infinito dimensionais son tamén posibles; o espazo vectorial pode entón ser un espazo de Hilbert infinito dimensional, por exemplo.

Os outros casos importantes son o corpo dos números reais, os corpos finitos, e os corpos dos números p-ádicos. As representacións no caso finito do corpo chámanse modulares. Aquí a característica do corpo é absolutamente significativa; moitos teoremas dependen de que a orde do grupo non divida a característica do corpo.

Representación conxuntista / representación por permutacións

Un conxunto X dise que soporta unha representación conxuntista ou representación por permutación dun grupo G se hai unha función, ρ de G a X^X, o conxunto das funcións de X a X tales que para g₁, g₂ en G, e x en X

$\rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]]$.

Esta condición e os axiomas para un grupo implican que ρ(g) é unha bixección (permutación) para todo g en G. Así pódese definir equivalentemente unha representación de permutación como un homomorfismo de grupos de G ao grupo simétrico S_X de X.

Unha representación linear é un caso especial dunha representación conxuntista con estrutura adicional.

Representación linear

Na álxebra abstracta, unha representación dun grupo finito G é un homomorfismo de grupos de G no grupo xeral linear GL(n, C) das matrices complexas invertibles n×n. O estudo de tales representacións chámase teoría da representación.

A teoría da representación é importante porque permite a redución dalgúns problemas da teoría de grupos á álxebra linear, que ten unha teoría moi ben entendida. Hai un análogo desta teoría para moitas clases importantes de grupos infinitos. Unha representación por transformacións proxectivas pódese describir como representación linear agás matrices escalares. Estas representacións ocorren naturalmente, tamén.

Poderíase tamén ter representacións afíns. Por exemplo, o grupo euclidiano actúa de forma afín sobre o espazo euclidiano.

Exemplo

Considérese o número complexo u = exp(2πi/3) que ten a propiedade u³ = 1. O grupo cíclico C₃ = { 1, u, u² } ten unha representación ρ dada por:

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0\\0&u\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{bmatrix}}$

(as tres matrices son ρ(1), ρ(u) e ρ(u²) respectivamente).

Esta representación dise fiel, porque ρ é inxectiva.

Equivalencia das representacións

Dúas representacións ρ₁ e ρ₂ dinse equivalentes se as matrices se diferencian só por un cambio de base, é dicir se existe A en GL(n, C) tal que para todo x en G: ρ₁(x) = Aρ₂(x)A⁻¹. Por exemplo, a representación de C₃ dada polas matrices:

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}u&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

é unha representación equivalente á mostrada arriba.

Accións de grupo

Cada matriz cadrada n×n describe unha función linear dende un espazo vectorial n-dimensional V a si mesmo (unha vez que se escolleu unha base para V). Polo tanto, cada representación ρ: G→GL_n define unha acción de grupo en V dada por g·v = (ρ(g))(v) (para g en G, v en V). Pódese de feito definir unha representación dun grupo como acción dese grupo nun certo espazo vectorial, evitando de tal modo a necesidade de escoller unha base e a restrición aos espazos vectoriales finito-dimensionais.

Reducibilidade

Se V ten un subespazo propio non trivial W tal que W está contido en V e é estable pola representación ρ, entón a representación dise reducible. Unha representación reducible pódese expresar como unha suma directa de subrepresentacións (teorema de Maschke). Se V non ten ningún tal subespazo, 6rho, dise unha representación irreducible.

Para grupos de Lie compactos tense o seguinte teorema:

Sexa $\scriptstyle K$ un grupo de Lie compacto:

(a) Calquera representación irreducible de $\scriptstyle K$ é de dimensión finita e é equivalente a unha representación unitaria.

(b) Toda representación de $\scriptstyle K$ pode descomporse como suma directa (posiblemente infinita) de sub-representacións irreducibles (de espazos vectoriais topolóxicos).

Teoría de caracteres

O carácter dunha representación $\rho :{\mathcal {G}}\to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ é a función $\chi :{\mathcal {G}}\to \mathbb {C}$ que asigna a cada $g\in {\mathcal {G}}$ a traza (suma dos elementos diagonais) da matriz ρ(g). Por exemplo, o carácter da representación dada arriba dáse preto: χ(1) = 2, χ(u) = 1 + u, χ(u²) = 1 + u². Se g e h son membros de G en igual clase de conxugación, entón χ(g) = χ(h) para calquera carácter; os valores dun carácter polo tanto teñen que ser especificados soamente para as diversas clases de conxugación de G. Máis aínda, as representacións equivalentes teñen os mesmos caracteres. Se unha representación é a suma directa de subrepresentacións, entón o carácter correspondente é a suma dos caracteres das subrepresentacións. Os caracteres de todas as representacións irreducibles dun grupo finito forman unha táboa de caracteres, coas clases de conxugación de elementos como as columnas, e caracteres como as filas. Aquí está a táboa de caracteres de C₃:

${\begin{matrix}&(1)&(u)&(u^{2})\\1&1&1&1\\x_{1}&1&u&u^{2}\\x_{2}&1&u^{2}&u\end{matrix}}$

A táboa de caracteres é sempre cadrada, e as filas e as columnas son ortogonais con respecto ao produto interior en C^m, que permite que se computen as táboas de caracteres máis facilmente. A primeira fila da táboa de caracteres sempre consiste en uns, e corresponde á representación trivial (a representación de 1 dimensión que consiste nas matrices 1×1 que conteñen a entrada 1). Certas propiedades do grupo G pódense deducir da súa táboa de caracteres:

• A orde de G vén dada pola suma de (χ(1))² sobre os caracteres na táboa.
• G é abeliano se e só se χ(1) = 1 para todos os caracteres na táboa.
• G ten un subgrupo normal non trivial (é dicir G non é un grupo simple) se e só se χ(1) = χ(g) para algún carácter χ non trivial na táboa e un certo elemento non-identidade g en G.

A táboa de caracteres en xeral non determina un grupo salvo isomorfismo: por exemplo, o grupo cuaterniónico Q e o grupo dihedral de 8 elementos (D₈) teñen a mesma táboa de caracteres.

Representación categórica

Xeralmente, unha representación dun grupo G nunha categoría C é un funtor de G (como categoría dun obxecto) en C.

• unha representación conxuntista é unha representación na categoría de conxuntos, é dicir unha representación de permutación.
• unha representación K-linear (para algún corpo K) é unha representación na categoría dos espazos vectoriales sobre K.

Véxase tamén

Bibliografía

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Introduction to representation theory with emphasis on Lie groups. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics 129. Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8. Modelo:MathSciNet, ISBN 978-0-387-97527-6. 
• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Birkhäuser Verlag. 1988.