Contradición

Contradición

Linguaxe formal	$\bot$
Táboa de verdade	${\begin{array}{c|c||c}A&B&\bot \\\hline V&V&F\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&F\\\end{array}}$

En lóxica, unha contradición é unha incompatibilidade entre dúas ou máis proposicións. Por exemplo, as frases "chove e non chove" e "nin chove nin trona, mais chove e trona" expresan contradicións lóxicas.

Táboa de verdade

Na lóxica proposicional, unha contradición defínese como unha fórmula que resulta ser falsa para calquera interpretación, é dicir, para calquera asignación de valores de verdade ás súas fórmulas atómicas. Por exemplo:

Para unha función dunha variábel:

${\begin{array}{|c|}\hline p\\\hline V\\F\\\hline \end{array}}$

e unha función desa variábel:

${\begin{array}{|c|c|c|}\hline p&\thicksim p&p\land \thicksim p\\\hline V&F&F\\F&V&F\\\hline \end{array}}$

O que dá falso para todos os valores de $p$ .

Unha función de dúas variábeis:

${\begin{array}{|c|c|}\hline p&q\\\hline V&V\\V&F\\F&V\\F&F\\\hline \end{array}}$

A seguinte táboa mostra unha contradición:

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline p&q&(p\lor q)&\thicksim (p\lor q)&(p\lor q)\Leftrightarrow \thicksim (p\lor q)\\\hline V&V&V&F&F\\V&F&V&F&F\\F&V&V&F&F\\F&F&F&V&F\\\hline \end{array}}$

Dada esta definición, toda contradición é a negación dunha tautoloxía, e toda tautoloxía é a negación dunha contradición. Seguindo o exemplo anterior, negando a contradición obtemos unha tautoloxía:

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&(p\lor q)&\thicksim (p\lor q)&(p\lor q)\Leftrightarrow \thicksim (p\lor q)&\thicksim ((p\lor q)\Leftrightarrow \thicksim (p\lor q))\\\hline V&V&V&F&F&V\\V&F&V&F&F&V\\F&V&V&F&F&V\\F&F&F&V&F&V\\\hline \end{array}}$

Lóxica de proposicións

Sendo ${\mathcal {P}}$ o conxunto de proposicións, e $a,b,c,d\dots$ proposicións de ${\mathcal {P}}$, pódese definir a operación nularia: contradición, pola cal sen argumentos ou independentemente dos argumentos, a unha variábel $a\,$ de ${\mathcal {P}}$ asígnaselle o valor falso.

${\begin{array}{rrcl}\bot :&\varnothing &\longrightarrow &{\mathcal {P}}\\&()&\mapsto &a=\bot ()=F\end{array}}$

Nos diagramas de Venn de enriba, pódense ver para: ningunha, unha e dúas variábeis o resultado falso. Unha contradición é calquera expresión lóxica ou booleana equivalente a un resultado falso, para todos os valores das súas variábeis, independentemente do número de variábeis que teña dita expresión ou función.

Véxase tamén

Bibliografía

• Józef Maria Bocheński 1960 Précis of Mathematical Logic, translated from the French and German editions by Otto Bird, D. Reidel, Dordrecht, South Holland.
• Jean van Heijenoort 1967 From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.)
• Ernest Nagel and James R. Newman 1958 Gödel's Proof, New York University Press, Card Catalog Number: 58-5610.

Outros artigos

• Redución ao absurdo.

Ligazóns externas

• "Contradiction (inconsistency)". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• "Contradiction, law of". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].