Conxectura de Goldbach

En teoría de números, a conxectura de Goldbach é un dos problemas non resoltos máis antigos nas matemáticas. Ás veces cualifícase como o problema máis difícil na historia desta ciencia. O seu enunciado é o seguinte:

Todo número par maior que 2 pide escribirse como suma de dous números primos. Christian Goldbach (1742)

Cabe notar que se pode empregar dúas veces o mesmo número primo.

Por exemplo,

$4=2+2;\ \ 6=3+3;\ \ 8=3+5;\ \ 10=3+7=5+5;\ \ 12=5+7;\ \ 14=3+11=7+7\dots$

Historia

O número dos diferentes xeitos nos que se pode expresar un número par n como a suma de dous números primos (4 ≤ n ≤ 1,000,000).

Esta conxectura fora coñecida por Descartes. A seguinte afirmación é equivalente á anterior e é a que conxecturou orixinalmente nunha misiva Goldbach a Euler en 1742:

Todo número enteiro maior que 5 pódese escribir como suma de tres números primos.

Esta conxectura ten sido investigada por moitos teóricos de números e foi comprobada por ordenadores para todos os números pares menores que 2×10¹⁶. A maior parte dos matemáticos cre que a conxectura é certa, baseándose maiormente nas consideracións estatísticas sobre a distribución probabilística dos números primos no conxunto dos números naturais: canto maior sexa o número enteiro par, faise máis probable que poida ser escrito como suma de dous números primos.

Sabemos que todo número par pode escribirse de forma mínima como suma de seis números primos. Como consecuencia dun traballo de Vinogradov, todo número par grande pode escribirse como suma de catro números primos. Ademais, Vinogradov demostrou que case todos os números pares poden escribirse como suma de dous números primos (no sentido de que a proporción de números pares que poden escribirse de dita forma tende a 1). En 1966, Chen Jing-run mostrou que todo número par o bastante grande pode escribirse como suma dun primo e un número que ten como moito dous factores primos.

Co fin de facer publicidade para o libro Uncle Petros and Goldbach's Conjecture de Apostolos Doxiadis, o editor británico Tony Faber ofreceu no 2000 un premio dun millón de dólares a aquel angloparlante que demostrase a conxectura antes de abril de 2002. Ninguén reclamou o premio.

Goldbach formulou dúas conxecturas, relacionadas entre si, sobre a suma de números primos: a conxectura 'forte' de Goldbach e a conxectura 'débil' de Goldbach. A que se discute aquí é a forte, a que se acostuma mencionar como "conxectura de Goldbach" a secas.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Carta orixinal escrita por Christian Golbach para Euler (en alemán)
• Mathworld http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html
• Chris Caldwell: Goldbach's conjecture, parte das Prime Pages (Páxinas sobre números primos): http://www.utm.edu/research/primes/glossary/GoldbachConjecture.html Arquivado 22 de novembro de 2008 en Wayback Machine.
• Anjana Ahuja: A million-dollar maths question (Unha pregunta de matemáticas dun millón de dólares), The Times, March 16, 2000: http://www.times-archive.co.uk/news/pages/tim/2000/03/16/timfeafea02004.html