Teorema do número primo

En teoría de números o teorema do número primo é un enunciado que describe a distribución asintótica dos números primos. Este teorema achega unha descrición xeral de como están distribuídos os números primos no conxunto dos números naturais. Isto formaliza a idea intuitiva de que os primos son menos comúns canto máis grandes son. É un dos teoremas máis importantes da historia das matemáticas, non só pola súa beleza senón pola súa influencia no desenvolvemento posterior da investigación dos números primos.

Expresión do teorema

Gráfico comparativo de π(x) (vermello), x / ln x (verde) e Li(x) (azul).

Sexa $\pi (x)\,$ a función contador de números primos, que denota a cantidade de primos que non exceden a $x\,$. O teorema establece que:

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}$, onde $\ln(x)$ é o logaritmo natural de $x$.

Esta expresión non implica que a diferenza das dúas partes da mesma para valores de $x$ moi grandes sexa cero; só implica que o cociente destas para valores de $x\,$ moi grandes é case igual a 1.

Unha mellor aproximación que a anterior vén dada pola integral logarítmica desprazada:

$\pi (x)\approx \operatorname {Li} (x)$ , onde $\operatorname {Li} (x)$ é a integral logarítmica desprazada de $x$.

Historia

En 1792 ou 1793, estando aínda no Collegium Carolinum, e sempre segundo o propio Gauss («ins Jahr 1792 oder 1793»), este anotou no seu caderno de notas:

«Números primos menores que a (= ∞) a/la» que na linguaxe moderna quere dicir que π(a) para valores cada vez maiores se achega ao cociente a/lna) e considérase como "a primeira conxectura do teorema dos números primos". Ademais a función π(x) que indica a cantidade de números primos que non superan x foi definida por Gauss.

O teorema dos números primos tamén foi conxecturado por Adrien-Marie Legendre en 1798, indicando que π(x) parecía ter a forma a/(A ln(a) + B), onde A e B son constantes non especificadas. Na segunda edición do seu libro de teoría de números (1808) fixo unha conxectura máis precisa, indicando que A = 1 e B = −1.08366. a conxectura foi posteriormente refinada por Gauss coa expresión que se asocia máis frecuentemente ao teorema. Prestaron contribucións significativas sobre esta proposición Legendre, Gauss, Dirichlet, Chebyshev e Riemann.

A demostración formal do teorema fixérona de forma independente tanto Jacques Hadamard como Charles-Jean da Vallée Poussin no ano 1896. Ambas as demostracións baseábanse no resultado de que a función zeta de Riemann $\zeta (z)\,$ non ten ceros da forma 1 + it con t > 0. En realidade a demostración fíxose sobre unha expresión algo máis estrita do que se indica na definición anterior do teorema, sendo a expresión demostrada por Hadamard e Poussin a seguinte:

$\pi (x)\approx {\mbox{Li}}(x)$

onde

${\mbox{Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dy}{\ln(y)}}$.

Dende 1896 a expresión asociada ao teorema dos números primos foi mellorada sucesivamente, sendo a mellor aproximación actual a dada por:

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\,\exp \left(-{\frac {A(\ln x)^{3/5}}{(\ln \ln x)^{1/5}}}\right)\right)$

onde $O(f(x))\,$ defínese como a función asintótica a $f(x)\,$ e $A\,$ é unha constante indeterminada.

Para valores de $x\,$ pequenos demostrárase que $\pi (x)<{\mbox{Li}}(x)\,$, o que levou a conxecturar a varios matemáticos da época de Gauss que ${\mbox{Li}}(x)\,$ era unha cota superior estrita de $\pi (x)\,$ (isto é que a ecuación $\pi (x)-{\mbox{Li}}(x)=0\,$ non ten solucións reais). Non obstante, en 1912 J. E. Littlewood demostrou que esa cota é cruzada para valores de $x\,$ suficientemente grandes. O primeiro deles coñécese como primeiro número de Skewes, e sábese que é inferior a $\scriptstyle 10^{317}\,$, aínda que se pensa que pode ser inferior incluso a $\scriptstyle 10^{176}\,$. En 1914 Littlewood ampliou a súa demostración coa inclusión de múltiples solucións á ecuación $\pi (x)-{\mbox{Li}}(x)=0\,$. Moitos destes valores e descubrimentos están asociados á validez da hipótese de Riemann.

Relación coa hipótese de Riemann

Dada a conexión que hai entre a función zeta de Riemann ζ(s) e π(x), a hipótese de Riemann é moi importante na teoría de números, e por suposto, no teorema dos números primos.

Se a hipótese de Riemann se cumpre, entón o termo erro que aparece no teorema dos números primos pode limitarse do mellor xeito posible. Concretamente, Helge von Koch demostrou en 1901 que

$\pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right).$

se e só se a hipótese de Riemann se cumpre.

Unha variante refinada do resultado de Koch, dada por Lowel Schoenfeld en 1976, afirma que a hipótese de Riemann é equivalente ao resultado:

$|\pi (x)-\operatorname {Li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln(x),\qquad {\text{para todo }}x\geq 2657.$

Aproximacións para o n-ésimo número primo

Como consecuencia do teorema dos números primos, obtense unha expresión asintótica para o n-ésimo número primo, denotado por p_n:

$p_{n}\approx n\ln n.$

Unha aproximación mellor é:

$p_{n}=n\ln n+n\ln \ln n+{\frac {n}{\ln n}}{\big (}\ln \ln n-\ln n-2{\big )}+O\left({\frac {n(\ln \ln n)^{2}}{(\ln n)^{2}}}\right).$

Teorema dos números primos para progresións aritméticas

Sexa $\pi _{n,a}(x)$ a función que denota o número de primos nunha progresión aritmética a, a + n, a + 2n, a + 3n, … menor que x. Dirichlet e Legendre conxecturaron, e Vallée-Poussin demostrou, que, se a e n son coprimos, entón

$\pi _{n,a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (n)}}\mathrm {Li} (x),$

onde φ(•) é a función φ de Euler. Noutras palabras, os números primos distribúense uniformemente entre os residuos de clases [a] módulo n con mcd(a, n) = 1. Isto pode demostrarse empregando métodos similares utilizados por Newman na súa demostración do teorema dos números primos.

O teorema de Siegel–Walfisz dá unha boa estimación da distribución dos números primos nos residuos de clases.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Prime Number Theorem
• Goldfeld, Dorian. "The elementary proof of the prime number theorem:An historical perspective" (PDF) (en inglés). Consultado o 10 de febreiro de 2011.