Progresión aritmética

En matemáticas, unha progresión aritmética é unha sucesión de números que cumpre que a diferenza entre dous termos consecutivos é constante. Por exemplo, a sucesión 5, 7, 9, 11, 13, 15. . . é unha progresión aritmética con diferenza 2.

Se o termo inicial dunha progresión aritmética é $a_{1}$ e a diferenza é d, entón o termo n-ésimo da sucesión ( $a_{n}$ ) vén dado por:

\ a_{n}=a_{1}+(n-1)d

,

e en xeral

\ a_{n}=a_{m}+(n-m)d

.

O comportamento dunha progresión aritmética depende da diferenza d:

Se é positiva os termos crecerán ata máis infinito.
Se é negativa, os termos irán cara ao menos infinito.

Suma

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40

16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

Cálculo da suma 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Cando a sucesión se escribe ao revés e se suma termo a termo, a sucesión resultante ten un único valor repetido, igual á suma do primeiro e o último número (2 + 14 = 16). Así, 16 × 5 = 80 é o dobre da suma.

A suma dos membros dunha progresión aritmética chámase serie aritmética. Por exemplo, considera a suma:

2+5+8+11+14

Esta suma pode atoparse rapidamente tomando o número de termos que se queren sumar (no exemplo, 5), multiplicándoos pola suma do primeiro e do último número da progresión (aquí 2 + 14 = 16) e dividindo entre 2:

{\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}

No caso superior dá a ecuación:

2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.

Esta fórmula funciona para calquera números reais $a_{1}$ e $a_{n}$ . Por exemplo:

\left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.

Obtención da fórmula

Proba animada da fórmula que dá a suma dos primeiros enteiros 1+2+...+n.

Para obter a fórmula superior, comeza por expresar a serie aritmética de dúas formas diferentes:

S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)

S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.

Engadindo en ambos os membros as dúas ecuacións desaparecen todos os termos con d:

\ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).

Dividindo ambos os membros entre 2 aparece a ecuación:

S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).

Unha forma alternativa aparece volvendo substituír: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ :

S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].

Ademais, o valor medio da serie pode calcularse como: $S_{n}/n$ :

{\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.

No ano 499 o matemático e astrónomo indio Aryabhata publicou este método no Aryabhatiya (sección 2.18).

Produto

O produto dos termos dunha progresión aritmética finita que comeza con a₁, ten diferenza d, e n elementos está determinado pola expresión

a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d{\frac {a_{1}}{d}}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+n-1\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},

onde $x^{\overline {n}}$ denota o factorial crecente e $\Gamma$ a función gamma. Porén, a fórmula non é válida se $a_{1}/d$ é un enteiro negativo ou cero.