Distribución binomial

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

Binomial

Función de densidade
Función de distribución
Parámetros	$n\geq 0$ número de ensaios (enteiro) $0\leq p\leq 1$ probabilidade de éxito (real)
Soporte	$k\in \{0,\dots ,n\}\!$
Función de densidade	${n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\!$
Función de distribución	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )\!$
Media	$np\!$
Mediana	Un de $\{\lfloor np\rfloor ,\lceil np\rceil \}$
Moda	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor \!$
Varianza	$np(1-p)\!$
Asimetría	${\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}\!$
Curtose	${\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}\!$
Entropía	${\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi nep(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)$
F. xeradora de momentos	$(1-p+pe^{t})^{n}\!$
Func. caract.	$(1-p+pe^{it})^{n}\!$

A distribución binomial é unha distribución de probabilidade discreta que conta o número de éxitos nunha secuencia de n ensaios de Bernoulli independentes entre si, cunha probabilidade fixa p de que ocorra un éxito no ensaio.

Un experimento de Bernoulli caracterízase por ser dicotómico, é dicir, só ten dous posibles resultados. Un destes resultados denomínase éxito e ten unha probabilidade de que suceda p e o outro denomínase fracaso, cunha probabilidade q = 1 - p. Na distribución binomial o experimento repítese n veces, de forma independente, e trátase de calcular a probabilidade dun número determinado de éxitos. Para n = 1, a binomial convértese nunha distribución de Bernoulli.

Para representar que unha variable aleatoria X segue unha distribución binomial de parámetros n e p, escríbese:

$X\sim B(n,p)\,$

A distribución binomial é a base do test binomial de significación estatística.

Experimento binomial

Existen moitas situación nas que se presenta unha experiencia binomial. Cada un dos experimentos é independente dos demais (é dicir, a probabilidade do resultado dun experimento non depende do resultado do resto). O resultado de cada experimento só admite dúas categorías (“éxito” e “fracaso”) e as probabilidades deben de ser constantes en todos os experimentos (exprésanse como p e q ou p e 1-p).

Desígnase por X a variable que mide o número de éxitos que produciron nos n experimentos. Cando se dan estas circunstancias, dise que a variable X segue unha distribución de probabilidade binomial, e exprésase B(n,p).

Exemplos de experimentos que se poden modelizar con esta distribución son:

• Lánzase un dado dez veces e cóntase o número X de treses obtidos. Entón X ~ B(10, 1/6).
• Lánzase unha moeda dúas veces e cóntase o número X de caras obtidas. Entón X ~ B(2, 1/2)

Características analíticas

A súa función de probabilidade é

$f(x)={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}\,\!$

onde $x=\{0,1,2,\dots ,n\},$

sendo ${n \choose x}={\frac {n!}{x!(n-x)!}}\,\!$ as combinacións de $n\,\!$ en $x\,\!$ ($n\,\!$ elementos tomados de $x\,\!$ en $x\,\!$)

Exemplo

Se se lanza un dado (con 6 caras) 51 veces e queremos coñecer a probabilidade de que o número 3 saia vinte veces temos que X ~ B(51, 1/6) e a probabilidade sería P(X=20):

$P(X=20)={51 \choose 20}(1/6)^{20}(1-1/6)^{51-20}=0.1898$

Propiedades

$\mathbb {E} [X]=np\,$

$\mathbb {V} {\text{ar}}[X]=np(1-p)\,$

Relación con outras variables aleatorias

Se $n$ tende a infinito e $p$ é tal que o produto entre ambos os parámetros tende a $\lambda \,\!$, entón a distribución da variable aleatoria binomial tende a unha distribución de Poisson de parámetro $\lambda$.

Cando $p$ =0.5 e n é moi grande (habitualmente esíxese que $n\geq 30$) a distribución binomial pode aproximarse mediante a distribución normal.

Propiedades reprodutivas

Dadas n variables binomiales independentes de parámetros n_i (i = 1,..., n) e $p$, a súa suma é tamén unha variable binomial, de parámetros n₁+... + n_n, e $p$, é dicir,

$Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim B(\sum _{i=1}^{n}n_{i},p)\,$

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Calculadora (distribución binomial)
• Cálculo da probabilidade dunha distribución binomial con linguaxe de programación R