Para outras páxinas con títulos homónimos véxase:
Distribución.
Distribución χ² (khi cadrado)
Función de densidade
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Chi-square_distributionPDF.png/325px-Chi-square_distributionPDF.png)
|
Función de distribución
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/Chi-square_distributionCDF.png/325px-Chi-square_distributionCDF.png)
|
Parámetros
|
graos de liberdade
|
Soporte
|
|
Función de densidade
|
|
Función de distribución
|
|
Media
|
|
Mediana
|
aproximadamente
|
Moda
|
if
|
Varianza
|
|
Asimetría
|
|
Curtose
|
|
Entropía
|
|
F. xeradora de momentos
|
for
|
Func. caract.
|
|
A distribución khi cadrado (χ²), chamada tamén distribución de Pearson é unha distribución de probabilidade continua cun parámetro
que representa os graos de liberdade da variable aleatoria:
Onde
son variables aleatorias normais independentes de media cero e varianza un. Se a variable aleatoria
segue esta distribución represéntase habitualmente
.
A súa función de densidade é:
![{\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}&{\text{para }}x>0,\\0&{\text{para }}x\leq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26aa53f19254ffe26df433f5a1b8a601c3e6c796)
onde
é a función gamma.
A función densidade de
se Z é tipo N(0,1) vén dada por
Despexando e tendo en conta as contribucións positivas e negativas de z
A función distribución de
vén dada pola súa convolución
Aplicando a transformada de Laplace
Aplicando a antitransformada obtense f(x;k)
A súa función de distribución é
onde
é a función gamma incompleta.
O valor esperado e a varianza dunha variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k e 2k.
A distribución χ² é un caso especial da distribución gamma. De feito,
Como consecuencia, cando
, a distribución χ² é unha distribución exponencial de media
.
Se k é suficientemente grande, como consecuencia do teorema central do límite, pode aproximarse por unha distribución normal:
A distribución χ² ten moitas aplicacións en inferencia estatística. A máis coñecida é a denominada proba χ², empregada como proba de independencia e como proba da bondade do axuste e na estimación de varianzas. Tamén aparece no problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída e no problema de estimar a pendente dunha recta de regresión linear, a través do seu papel na distribución t de Student.
Aparece tamén en todos os problemas da análise da varianza pola súa relación coa distribución F de Snedecor, que é a distribución do cociente de dúas variables aleatorias independentes con distribución χ².