Función de contaxe de números primos

En matemáticas, a función de contaxe de números primos é a función que conta o número de números primos menores ou igual a algún número real $x$ .^[1]^[2] Desígnase por $π (x)$ (sen relación co número $π$ ).

Os valores de $π (n)$ para os primeiros 60 enteiros positivos

Taxa de crecemento

De gran interese na teoría de números é a taxa de crecemento da función de contaxe de primos.^[3]^[4] Foi conxecturado a finais do século XVIII por Gauss e por Legendre como aproximadamente

{\frac {x}{\log(x)}}

onde $log$ é o logaritmo natural, no sentido de que

\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}=1.

Esta afirmación é o teorema dos números primos. Unha afirmación equivalente é

\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\operatorname {li} (x)}}=1

,

onde $\operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}$ é a función logaritmo integral.

O teorema dos números primos foi probado por primeira vez en 1896 por Jacques Hadamard e por Charles de la Vallée Poussin de forma independente, utilizando as propiedades da función zeta de Riemann introducida por Riemann en 1859. Atle Selberg e Paul Erdős atoparon probas do teorema dos números primos que non empregaban a función zeta nin a análise complexa arredor de 1948 (na súa maior parte de forma independente).^[5]

Estimacións máis precisas

No 1899, de la Vallée Poussin probou que ^[6]

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty

Agora coñécense estimacións máis precisas de $π (x)$ . Por exemplo, en 2002, Kevin Ford demostrou que^[7]

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}\right)\right).

Para valores de $x$ que non sexan excesivamente grandes, $li(x)$ é maior que $π (x)$ . Porén, $π (x) - li(x)$ sábese que muda de signo infinitas veces. Para unha discusión sobre isto, consulte o número de Skewes.

Forma exacta

Para $x > 1$ sexa $π 0 (x) = π (x) - 1 / 2$ cando $x$ é un número primo, e $π 0 (x) = π (x)$ doutro xeito. Bernhard Riemann, na súa obra Sobre o número de primos menores que unha magnitude dada, demostrou que $π 0 (x)$ é igual a^[8]

\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho }),

onde

\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} \left(x^{1/n}\right),

e aquí $μ (n)$ é a función de Möbius, $li(x)$ é o logaritmo integral, $ρ$ indexa cada cero da función zeta de Riemann. Se se recollen os ceros triviais e a suma tómase só sobre os ceros non triviais $ρ$ da función zeta de Riemann, entón $π 0 (x)$ pode ser aproximado por^[9]

\pi _{0}(x)\approx \operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} \left(x^{\rho }\right)-{\frac {1}{\log(x)}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log(x)}}.

A hipótese de Riemann suxire que cada cero non trivial deste tipo está ao longo de $Re(s) = 1 / 2$ .

Táboa de $π (x)$ , $x / log(x)$ , e $li(x)$

A táboa mostra as tres funcións $π (x)$ , $x / log(x)$ e $li(x)$ comparadas nas potencias de 10. Ver tamén,^[3]^[10] e^[11]

$x$	$π (x)$	$π (x) - x / log(x)$	$li(x) - π (x)$	$x / π (x)$	$x / log(x)$ % erro
10	4	0	2	2.500	−8.57%
10²	25	3	5	4.000	+13.14%
10³	168	23	10	5.952	+13.83%
10⁴	1,229	143	17	8.137	+11.66%
10⁵	9,592	906	38	10.425	+9.45%
10⁶	78,498	6,116	130	12.739	+7.79%
10⁷	664,579	44,158	339	15.047	+6.64%
10⁸	5,761,455	332,774	754	17.357	+5.78%
10⁹	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667	+5.10%
10¹⁰	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975	+4.56%
10¹¹	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283	+4.13%
10¹²	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	+3.77%
10¹³	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	+3.47%
10¹⁴	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	+3.21%
10¹⁵	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	+2.99%
10¹⁶	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	+2.79%
10¹⁷	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	38.116	+2.63%
10¹⁸	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	+2.48%
10¹⁹	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	42.725	+2.34%
10²⁰	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	45.028	+2.22%
10²¹	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	+2.11%
10²²	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	+2.02%
10²³	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	+1.93%
10²⁴	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	+1.84%
10²⁵	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	+1.77%
10²⁶	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	+1.70%
10²⁷	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	+1.64%
10²⁸	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	63.456	+1.58%
10²⁹	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	65.759	+1.52%

Na On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, a columna $π (x)$ é a (secuencia A006880 na OEIS), $π (x) - x / log x$ é a (secuencia A057835 na OEIS) e $li(x) - π (x)$ é a (secuencia A057752 na OEIS).

O valor de $π (10 24)$ foi calculado orixinalmente por J. Buethe, J. Franke, A. Jost e T. Kleinjung asumindo a hipótese de Riemann.^[12] Máis tarde comprobouse sen condicións nun cálculo de DJ Platt. O valor de $π (10 25)$ débese a J. Buethe, J. Franke, A. Jost e T. Kleinjung.^[13] O valor de $π (10 26)$ foi calculado por DB Staple. Todas as demais entradas anteriores nesta táboa tamén foron verificadas como parte dese traballo.

Os valores para 10²⁷, 10²⁸ e 10²⁹ foron anunciados por David Baugh e Kim Walisch en 2015,^[14] 2020,^[15] e 2022,^[16] respectivamente.

Algoritmos para avaliar $π (x)$

Unha forma sinxela de atopar π(x), se x non é demasiado grande, é usar a creba de Eratóstenes para producir os primos menores ou iguais a x e despois contalos.

Unha forma máis elaborada de atopar $π (x)$ débese a Legendre (usando o principio de inclusión-exclusión): dado $x$ , se $p 1, p 2,\dots, p n$ son números primos distintos, entón o número de enteiros menor que ou iguais a $x$ que non son divisíbeis por ningún $p i$ é

\lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots

(onde $⌊ x ⌋$ denota a función chan). Este número é, polo tanto, igual a

\pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1

cando os números $p 1, p 2,\dots, p n$ son os números primos menores ou iguais á raíz cadrada de $x$ .

Algoritmo de Meissel-Lehmer

Artigo principal: Algoritmo de Meissel–Lehmer.

Nunha serie de artigos publicados entre 1870 e 1885, Ernst Meissel describiu (e utilizou) unha forma combinatoria práctica de avaliar $π (x)$ : Sexan $p 1, p 2,\dots, p n$ os primeiros $n$ primos e denotémos por $Φ(m, n)$ o número de números naturais non superiores a $m$ que non son divisíbeis por ningún dos $p i$ para calquera $i \leq n$ . Entón

\Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{n}}},n-1\right).

Dado un número natural $m$ , se $n = π (3 \sqrt m)$ e se $μ = π (\sqrt m) - n$ , entón

\pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right).

Usando este enfoque, Meissel calculou $π (x)$ , para $x$ igual a 5×10⁵, 10⁶, 10⁷, e 10⁸.

En 1959, Derrick Henry Lehmer ampliou e simplificou o método de Meissel

Outras funcións de contaxe de primos

Función de Riemann de contaxe de potencias de primos

Adoita denotarse como $Π 0 (x)$ ou $J 0 (x)$ . Ten saltos de

Formalmente, podemos definir $Π 0 (x)$ por

\Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}+\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}\right)\

onde a variable $p$ en cada suma varía sobre todos os primos dentro dos límites especificados.

Tamén podemos escribir

\ \Pi _{0}(x)=\sum _{n=2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}-{\frac {\Lambda (x)}{2\log x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}\left(x^{1/n}\right)

onde $Λ$ é a función de von Mangoldt e

\pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )}{2}}.

A fórmula de inversión de Möbius dá logo

\pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\ \Pi _{0}\left(x^{1/n}\right),

onde $μ (n)$ é a función de Möbius.

Coñecendo a relación entre o logaritmo da función zeta de Riemann e a función de von Mangoldt $Λ$ , e utilizando a fórmula de Perron temos

\log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x

.

Función de Chebyshev

A función de Chebyshev pondera números primos ou potencias de primos $p n$ mediante $log(p)$ :

{\begin{aligned}\theta (x)&=\sum _{p\leq x}\log p.\\\psi (x)&=\sum _{p^{n}\leq x}\log p=\sum _{n=1}^{\infty }\theta \left(x^{1/n}\right)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).\end{aligned}}

Para $x \geq 2$ ,^[17]

\vartheta (x)=\pi (x)\log x-\int _{2}^{x}{\frac {\pi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t

e

\pi (x)={\frac {\vartheta (x)}{\log x}}+\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (t)}{t\log ^{2}(t)}}\mathrm {d} t.

Fórmulas para as funcións de contaxe de números primos

As fórmulas para as funcións de contaxe de primos son de dous tipos: fórmulas aritméticas e fórmulas analíticas. As fórmulas analíticas para a contaxe de primos foron as primeiras utilizadas para demostrar o teorema dos números primos. Procedentes do traballo de Riemann e von Mangoldt, coñécense xeralmente como fórmulas explícitas.^[18]

Temos a seguinte expresión para a segunda función de Chebyshev $ψ$ :

\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right),

onde

\psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.

Aquí $ρ$ son os ceros da función zeta de Riemann na franxa crítica, onde a parte real de $ρ$ está entre cero e un. A fórmula é válida para valores de $x$ maiores que un, que é a rexión de interese. A suma sobre as raíces é condicionalmente converxente e debe tomarse por orde crecente do valor absoluto da parte imaxinaria. Teña en conta que a mesma suma sobre as raíces triviais dá o último sustraendo da fórmula.

Para $Π 0 (x)$ temos unha fórmula máis complicada

\Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} \left(x^{\rho }\right)-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}.

De novo, a fórmula é válida para $x > 1$ , mentres que $ρ$ son os ceros non triviais da función zeta ordenados segundo o seu valor absoluto. A integral é igual á serie sobre os ceros triviais:

\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}\left(\sum _{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm {d} t=\sum _{m}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {\left(u=t^{-2m}\right)}{=}}-\sum _{m}\operatorname {li} \left(x^{-2m}\right)

O primeiro termo $li(x)$ é o logaritmo integral usual; a expresión $li(x ρ)$ no segundo termo debería considerarse como $Ei(ρ log x)$ , onde $Ei$ é a continuación analítica da función integral exponencial desde os reais negativos ata o plano complexo coa ramificación cortada ao longo dos reais positivos.

Así, a fórmula de inversión de Möbius dános ^[9]

\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} \left(x^{\rho }\right)-\sum _{m}\operatorname {R} \left(x^{-2m}\right)

válido para $x > 1$ , onde

\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} \left(x^{1/n}\right)=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(\log x\right)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}

é a función R de Riemann^[19] e $μ (n)$ é a función de Möbius. Esta última serie coñécese como serie de Gram.^[20]^[21] Como $log x < x$ para todo $x > 0$ , esta serie converxe para todo $x$ positivo en comparación coa serie para $e x$ .

A suma sobre os ceros non triviais de zeta na fórmula para $π 0 (x)$ describe as flutuacións de $π 0 (x)$ mentres que os termos restantes dan a parte "suave" da función de contaxe de primos,^[22], asi que pódese usar

\operatorname {R} (x)-\sum _{m=1}^{\infty }\operatorname {R} \left(x^{-2m}\right)

como un bo estimador de $π (x)$ para $x > 1$ .

De feito, xa que o segundo termo achégase a 0 cando $x \to \infty$ , mentres que a amplitude da parte "ruidosa" é heurísticamente aproximado a $\sqrt x / log x$ , estimando $π (x)$ só por $R(x)$ é igual de bo, e as flutuacións da distribución dos números primos poden representarse claramente coa función

{\bigl (}\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x){\bigr )}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}.

A hipótese de Riemann

A hipótese de Riemann implica un límite moito máis estreito do erro na estimación de $π (x)$ e, polo tanto, unha distribución máis regular dos números primos,

\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).

En concreto,^[23]

|\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\quad {\text{para todo }}x\geq 2657.

Dudek (2015) probou que a hipótese de Riemann implica que para todo $x \geq 2$ hai un primo $p$ a satisfacer

x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x.

Notas

↑ Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996). Algorithmic Number Theory. MIT Press. volume 1 page 234 section 8.8. ISBN 0-262-02405-5.
↑ Weisstein, Eric W. "Prime Counting Function". MathWorld.
↑ ^3,0 ^3,1 "How many primes are there?". Chris K. Caldwell. Arquivado dende o orixinal o 2012-10-15. Consultado o 2008-12-02.
↑ Dickson, Leonard Eugene (2005). History of the Theory of Numbers, Vol. I: Divisibility and Primality. Dover Publications. ISBN 0-486-44232-2.
↑ Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1998). A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-97329-X.
↑ Ver Teorema 23 de A. E. Ingham (2000). The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. ISBN 0-521-39789-8.
↑ Kevin Ford (November 2002). "Vinogradov's Integral and Bounds for the Riemann Zeta Function" (PDF). Proc. London Math. Soc. 85 (3): 565–633. arXiv:1910.08209. doi:10.1112/S0024611502013655.
↑ Hutama, Daniel (2017). "Implementation of Riemann's Explicit Formula for Rational and Gaussian Primes in Sage" (PDF). Institut des sciences mathématiques.
↑ ^9,0 ^9,1 Riesel, Hans; Göhl, Gunnar (1970). "Some calculations related to Riemann's prime number formula" (PDF). Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 24 (112): 969–983. ISSN 0025-5718. JSTOR 2004630. MR 0277489. doi:10.2307/2004630.
↑ "Táboas de valores de $π (x)$ e de $π 2 (x)$ ". Tomás Oliveira e Silva. Consultado o 2024-03-31.
↑ "Unha táboa de valores de $π (x)$ ". Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Patrick Demichel. Consultado o 2008-09-14.
↑ "Conditional Calculation of π(10²⁴)". Chris K. Caldwell. Consultado o 2024-03-30.
↑ Platt, David J. (2012). "Computing $π (x)$ Analytically)". arXiv:1203.5712 [math.NT].
↑ Walisch, Kim (September 6, 2015). "New confirmed π(10²⁷) prime counting function record". Mersenne Forum.
↑ Baugh, David (August 30, 2020). "New prime counting function record, pi(10^28)". Mersenne Forum.
↑ Walisch, Kim (March 4, 2022). "New prime counting function record: PrimePi(10^29)". Mersenne Forum.
↑ Apostol, Tom M. (2010). Introduction to Analytic Number Theory. Springer.
↑ Titchmarsh, E.C. (1960). The Theory of Functions, 2nd ed. Oxford University Press.
↑ Weisstein, Eric W. "Riemann Prime Counting Function". MathWorld.
↑ Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. Progress in Mathematics 126 (2nd ed.). Birkhäuser. pp. 50–51. ISBN 0-8176-3743-5.
↑ Weisstein, Eric W. "Gram Series". MathWorld.
↑ "The encoding of the prime distribution by the zeta zeros". Matthew Watkins. Consultado o 2008-09-14.
↑ Schoenfeld, Lowell (1976). "Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II". Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 30 (134): 337–360. ISSN 0025-5718. JSTOR 2005976. MR 0457374. doi:10.2307/2005976.

Véxase tamén

Bibliografía

Dudek, Adrian W. (2015). On the Riemann hypothesis and the difference between primes. International Journal of Number Theory 11. pp. 771–778. Bibcode:2014arXiv1402.6417D. ISSN 1793-0421. arXiv:1402.6417. doi:10.1142/S1793042115500426.

Outros artigos

Ligazóns externas

Chris Caldwell, The Nth Prime Page at The Prime Pages.
Tomás Oliveira e Silva, Tables of prime-counting functions.

[Bach-1] Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996). Algorithmic Number Theory. MIT Press. volume 1 page 234 section 8.8. ISBN 0-262-02405-5.

[mathworld_pcf-2] Weisstein, Eric W. "Prime Counting Function". MathWorld.

[Caldwell-3] 3,0 ^3,1 "How many primes are there?". Chris K. Caldwell. Arquivado dende o orixinal o 2012-10-15. Consultado o 2008-12-02.

[Dickson-4] Dickson, Leonard Eugene (2005). History of the Theory of Numbers, Vol. I: Divisibility and Primality. Dover Publications. ISBN 0-486-44232-2.

[Ireland-5] Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1998). A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-97329-X.

[6] Ver Teorema 23 de A. E. Ingham (2000). The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. ISBN 0-521-39789-8.

[Ford-7] Kevin Ford (November 2002). "Vinogradov's Integral and Bounds for the Riemann Zeta Function" (PDF). Proc. London Math. Soc. 85 (3): 565–633. arXiv:1910.08209. doi:10.1112/S0024611502013655.

[8] Hutama, Daniel (2017). "Implementation of Riemann's Explicit Formula for Rational and Gaussian Primes in Sage" (PDF). Institut des sciences mathématiques.

[RieselGohl-9] 9,0 ^9,1 Riesel, Hans; Göhl, Gunnar (1970). "Some calculations related to Riemann's prime number formula" (PDF). Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 24 (112): 969–983. ISSN 0025-5718. JSTOR 2004630. MR 0277489. doi:10.2307/2004630.

[Silva-10] "Táboas de valores de $π (x)$ e de $π 2 (x)$ ". Tomás Oliveira e Silva. Consultado o 2024-03-31.

[Gourdon-11] "Unha táboa de valores de $π (x)$ ". Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Patrick Demichel. Consultado o 2008-09-14.

[Franke-12] "Conditional Calculation of π(10²⁴)". Chris K. Caldwell. Consultado o 2024-03-30.

[PlattARXIV2012-13] Platt, David J. (2012). "Computing $π (x)$ Analytically)". arXiv:1203.5712 [math.NT].

[14] Walisch, Kim (September 6, 2015). "New confirmed π(10²⁷) prime counting function record". Mersenne Forum.

[15] Baugh, David (August 30, 2020). "New prime counting function record, pi(10^28)". Mersenne Forum.

[16] Walisch, Kim (March 4, 2022). "New prime counting function record: PrimePi(10^29)". Mersenne Forum.

[17] Apostol, Tom M. (2010). Introduction to Analytic Number Theory. Springer.

[Titchmarsh-18] Titchmarsh, E.C. (1960). The Theory of Functions, 2nd ed. Oxford University Press.

[mathworld_r-19] Weisstein, Eric W. "Riemann Prime Counting Function". MathWorld.

[Riesel94-20] Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. Progress in Mathematics 126 (2nd ed.). Birkhäuser. pp. 50–51. ISBN 0-8176-3743-5.

[mathworld_gram-21] Weisstein, Eric W. "Gram Series". MathWorld.

[Watkins-22] "The encoding of the prime distribution by the zeta zeros". Matthew Watkins. Consultado o 2008-09-14.

[23] Schoenfeld, Lowell (1976). "Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II". Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 30 (134): 337–360. ISSN 0025-5718. JSTOR 2005976. MR 0457374. doi:10.2307/2005976.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]