Isometría

En matemáticas, unha isometría (ou congruencia ou transformación congruente) é unha transformación que preserva a distancia entre espazos métricos, normalmente se supón que é bixectiva. ^[2]|name=CoxeterIsometryDef}} A palabra isometría deriva do grego antigo: ἴσος isos que significa "igual", e μέτρον metron que significa "medida". Se a transformación é dun espazo métrico a si mesmo, é unha especie de transformación xeométrica coñecida como movemento.

Introdución

Dado un espazo métrico (vagamente, un conxunto e un esquema para asignar distancias entre os elementos do conxunto), unha isometría é unha transformación que mapea elementos ao mesmo ou a outro espazo métrico de forma que a distancia entre os elementos da imaxe no novo espazo métrico é igual á distancia entre os elementos no espazo métrico orixinal. Nun espazo euclidiano bidimensional ou tridimensional, dúas figuras xeométricas son congruentes se están relacionadas por unha isometría; a isometría que os relaciona é ou ben un movemento ríxido (translación ou rotación) ou unha composición dun movemento ríxido e unha reflexión.

Definición

Sexan $X$ e $Y$ espazos métricos con métricas (por exemplo, distancias) ${\textstyle d_{X}}$ e ${\textstyle d_{Y}.}$ Un mapa ${\textstyle f\colon X\to Y}$ chámase isometría ou mapa de preservación da distancia, se para todos os $a,b\in X$ ,

d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).

^[3]

Unha isometría é automaticamente inxectiva; se non, dous puntos distintos, a e b, poderían ser mapeados no mesmo punto, contradicindo así o axioma de coincidencia da métrica d, é dicir, $d(a,b)=0$ se e só se $a=b$ .

Unha isometría global, isomorfismo isométrico ou mapeo de congruencia é unha isometría bixectiva. Como calquera outra bixección, unha isometría global ten unha función inversa. A inversa dunha isometría global é tamén unha isometría global.

Dous espazos métricos X e Y chámanse isométricos se hai unha isometría bixectiva de X a Y. O conxunto de isometrías bixectivas desde un espazo métrico ata si mesmo forma un grupo con respecto á composición da función, chamado grupo de isometría.

Unha isometría de camiño ou isometría de arco é un mapa que conserva as lonxitudes das curvas; tal mapa non é necesariamente unha isometría no sentido de preservación da distancia, e non ten por que ser necesariamente bixectivo, nin sequera inxectivo. Este termo adoita abreviarse simplemente a isometría, polo que hai que ter coidado de determinar a partir do contexto que tipo se pretende.

Exemplos

Calquera reflexión, translación e rotación é unha isometría global sobre espazos euclidianos.
O mapa $x\mapsto |x|$ en $\mathbb {R}$ é unha isometría de camiño pero non unha isometría (xeral). Teña en conta que a diferenza dunha isometría, esta isometría de camiño non precisa ser inxectiva.

Grupo de isometría

Artigo principal: Grupo de isometría.

O conxunto de todos os mapas que son isometrías dun conxunto contido nun espazo métrico forma un grupo coñecido como grupo de isometría do conxunto. Nun espazo euclidiano de dimensión n o grupo de isometría $G_{iso}\,$ de calquera conxunto é un subgrupo do grupo de produtos formado a partir do grupo ortogonal e o grupo de translaciones:

$G_{iso}\subset O(n)\times \mathbb {R} ^{n}$

Isometrías entre espazos normados

Isometría linear

Dados dous espazos vectoriais normados V e W, unha isometría linear é unha aplicación linear $f\colon V\rightarrow W$ que conserva a norma:

\|f(v)\|=\|v\|

para todas as $v\in V$ . Neste sentido, unha isometría conserva a distancia inducida pola norma do espazo vectorial. Unha isometría chámase global se é unha función sobrexectiva.

Nun espazo pre-hilbertiano (un espazo vectorial dotado de produto escalar), a definición anterior equivale a que

$\langle f(v),f(v)\rangle =\langle v,v\rangle \quad \forall v\in V$

e isto é equivalente a que se conserve o produto escalar:

$\langle f(u),f(v)\rangle =\langle u,v\rangle \quad \forall u,v\in V$ .

En efecto, que esta igualdade implique a anterior é trivial; o recíproco dedúcese do feito de que o produto escalar está determinado pola norma segundo a identidade do paralelogramo:

$\langle u,v\rangle ={\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2} \over 4}.$

Se se conserva a norma, tamén se conserva o produto escalar, dado por esta identidade.

Segundo o teorema de Mazur-Ulam, calquera isometría dun espazo vectorial normado no corpo do números reais é afín.

Debido a como se definen ángulos nun espazo vectorial, toda isometría linear conserva os ángulos, é dicir, unha isometría linear é unha aplicación conforme linear.

Notas

↑ Coxeter 1969, p. 46
↑ Coxeter 1969, p. 29
↑ Beckman, F.S.; Quarles, D.A. Jr. (1953). "On isometries of Euclidean spaces" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society 4 (5): 810–815. JSTOR 2032415. MR 0058193. doi:10.2307/2032415.

Véxase tamén

Bibliografía

Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry, Second edition. Wiley. ISBN 9780471504580.
Lee, Jeffrey M. (2009). Manifolds and Differential Geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4815-9.

Outros artigos

[1] Coxeter 1969, p. 46

[2] Coxeter 1969, p. 29

[Beckman-Quarles-1953-3] Beckman, F.S.; Quarles, D.A. Jr. (1953). "On isometries of Euclidean spaces" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society 4 (5): 810–815. JSTOR 2032415. MR 0058193. doi:10.2307/2032415.

[1]

[2]

[3]