Saltar ao contido

Matriz adxunta

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
(Redirección desde «Matriz de adxuntos»)
Na terminoloxía matemática moderna, a matriz de adxuntos denomínase matriz conxugada transposta. [1]

Dada unha matriz cadrada A, a súa matriz adxunta ou matriz cofactor cof(A) é o resultado de substituír cada termo a ij de A polo cofactor aij de A. O termo matriz adxunta adj(A) adoita crear confusión, xa que en moitos tratados clásicos de álxebra linear correspóndese coa matriz cofactor transposta, [1] [2] [3] porén, noutros textos, correspóndese coa matriz cofactor, xa que chaman do mesmo xeito adxunto ao cofactor. [4] [5] A maiores, o símbolo adj( ) (do inglés adjugate) tamén se usa indistintamente con cof( ) para o cálculo nos elementos dunha matriz, provocando así unha maior confusión cada vez.[6]

O principal interese da matriz adxunta é que permite calcular a inversa dunha matriz, xa que se cumpre a relación:

onde adj(A) corresponde á matriz cofactor transposta, é dicir,

.

No entanto, para matrices de grandes dimensións, este tipo de cálculo ten máis custo, en termos de operacións, que outros métodos como o método de eliminación gaussiana.

Definición e fórmulas de cálculo

[editar | editar a fonte]

Dada unha matriz a súa matriz adxunta é a única matriz tal que: [7]

Dados os compoñentes explícitos da matriz: para cada i e j defínese a matriz como a matriz de orde obtida de eliminando a fila i e a columna j. E defínese a cantidade:

E resulta que estas son precisamente as compoñentes da matriz de adxuntos (ou cofactores), é dicir,

Matrices 2 x 2

[editar | editar a fonte]

Dada unha matriz 2 x 2:

A súa matriz adxunta vén dada por:

onde C é a matriz cofactor.

Matrices 3 x 3

[editar | editar a fonte]

A súa matriz de cofactores vén dada por:

e polo tanto a transposición da matriz cofactor é a matriz adxunta:

Un exemplo sería o seguinte:

Propiedades

[editar | editar a fonte]

Dada unha matriz definindo Pódese demostrar que os pódense escribir como a suma de monomios de grao n nas compoñentes . Isto fai que o cálculo da matriz adxunta mediante a aplicación de fórmulas directas sexa complicado a medida que n aumenta, resultando computacionalmente moito custoso.

Se consideramos a operación de atopar a matriz adxunta como unha función: resulta que esa función é continua. Isto pódese ver pola continuidade da función determinante. A maiores, ten outras propiedades interesantes:

  • [8]
  • para .
  • para .
  • para .
  • para .
  • .

Se p (t) = det(A − t I) é o polinomio característico de A e definimos o polinomio q(t) = (p(0) − p (t))/t, entón:

Onde son os coeficientes de p(t):

A función adxunta tamén aparece na fórmula para a derivada do determinante: [9]

  1. 1,0 1,1 Apostol, Tom M. (2002). "3. Determinantes, 5. Autovalores de operadores en espacios euclídeos". Calculus vol. 2 (en castellano) (2ª ed.). Barcelona: Reverté S.A. pp. 113,151. ISBN 84-291-5003-X. 
  2. Clapham, Christopher (2004). Diccionario de Matemáticas (en castellano) (1ª ed.). Madrid: Editorial Complutense. pp. 3–4. ISBN 84-89784-56-6. 
  3. Castañeda Hernandez, Sebastián; Barrios Sarmiento, Agustín (2004). "3.6 Cofactores y Regla de Cramer". Notas de álgebra lineal (en castellano) (2ª ed.). Barranquilla (colombia): Ediciones Uninorte. p. 193. ISBN 958-8133-89-0. 
  4. Díaz Martín, Jose Fernando (2005). "6. Determinantes". Introduccion Al Algebra (en castellano) (1ª ed.). A Coruña (España): NetBiblo. pp. 229–230,237–238. ISBN 84-9745-128-7. 
  5. Perelló, Miquel A. (2002). "4.3.3. Cálculo por determinantes de la matriz inversa". Álgebra lineal. Teoría y práctica (en castellano). Barcelona: Edicions UPC. pp. 129,136. ISBN 8483016621. 
  6. Neste artigo vaise usar a terminoloxía matriz Adxunta como adj(A)=cof(A)T.
  7. Philippe G. Ciarlet: Mathematical Elasticity, North Holland, 1993, p. 4
  8. Balabanian, Norman. "1.16 Conceptos fundamentales. Álgebra Matricial Elemental". Teoría de redes eléctricas (en Castellano). Consultado o 24 de marzo de 2013. 
  9. Philippe G. Ciarlet, 1993,

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]
  • Roger A. Horn and Charles R. Johnson (2013), Matrix Analysis, Second Edition. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
  • Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1

Outros artigos

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]