Número hexagonal

Proba visual de que un número hexagonal (columna do medio) pode ser reordenado como números rectangulares e triangulares de lados impares

Un número hexagonal é un número figurado que estende o concepto de cadrados perfectos e números triangulares ao hexágono. Está estensión non é total, o modelo para a construción dos números hexagonais non ten simetrías. O n-ésimo número hexagonal h_n é o número de puntos distintos nun modelo de puntos que consiste nos contornos de hexágonos regulares que comparten un vértide de lados de 1 punto ata de lados de n puntos.

Os catro primeiros números hexagonais.

A fórmula do n- ésimo número hexagonal

$h_{n}=2n^{2}-n=n(2n-1)={\frac {2n(2n-1)}{2}}.$

Os primeiros números hexagonais (secuencia A000384 na OEIS) son:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946...

Todo número hexagonal é un número triangular, pero só os números triangulares que ocupan unha posición impar (o 1º, 3º, 5º, 7º, etc.) son números hexagonais.

Todo número perfecto par é hexagonal, dado pola fórmula

$M_{p}2^{p-1}=M_{p}{\frac {M_{p}+1}{2}}=h_{(M_{p}+1)/2}=h_{2^{p-1}}$

onde M _p é un primo de Mersenne . Non se coñecen números perfectos impares, polo que todos os números perfectos coñecidos son hexagonais.

Por exemplo, o segundo número hexagonal é 2×3 = 6; o 4º é 4×7 = 28; o 16 é 16×31 = 496; e o número 64 é 64×127 = 8128.

Adrien-Marie Legendre demostrou en 1830 que calquera número enteiro maior que 1791 pode expresarse como suma de catro números hexagonais. O maior número que non se pode escribir desta maneira é o 130.

Ademais, se buscamos expresar todos os enteiros positivos empregando cinco números hexagonais, só dous números non se poden expresar así, sendo os 11 e 26.

Non debemos confundir os números hexagonais, cos números hexagonais centrados, que se difiren pola contrucción da malla de puntos.

Proba de números hexagonais

Pódese probar que número enteiro positivo x é un número hexagonal empregando a fórmula:

$n={\frac {{\sqrt {8x+1}}+1}{4}}.$

Se n é un número enteiro, entón x é o n- ésimo número hexagonal. Se n non é un número enteiro, entón x non é hexagonal.

Relacións de congruencia

• $h_{n}\equiv n{\pmod {4}}$
• $h_{3n}+h_{2n}+h_{n}\equiv 0{\pmod {2}}$

Outras propiedades

Expresión mediante sumatorio

O n- ésimo número da secuencia hexagonal tamén se pode expresar usando un sumatorio como

$h_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}{(4k+1)}$

Suma dos recíprocos dos números hexagonais

A suma dos recíprocos dos números hexagonais é 2ln(2), onde ln denota logaritmo natural .

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(2k-1)}}&=\lim _{n\to \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2k}}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}+{\frac {1}{2k}}-{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{2n}{\frac {1}{k}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n+k}}\\&=2\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+{\frac {k}{n}}}}\\&=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}dx\\&=2[\ln(1+x)]_{0}^{1}\\&=2\ln {2}\\&\approx {1.386294}\end{aligned}}$

Multiplicando o índice

Usando a reordenación, dáse o seguinte conxunto de fórmulas:

$h_{2n}=4h_{n}+2n$

$h_{3n}=9h_{n}+6n$

$...$

$h_{m*n}=m^{2}h_{n}+(m^{2}-m)n$

Relación de proporción

Empregnado a fórmula anterior con respecto a m e despois n, e logo reducindo e movendo, pódese chegar á seguinte ecuación:

${\frac {h_{m}+m}{h_{n}+n}}=\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}$

Números cadrados hexagonais

A secuencia de números que son á vez hexagonais e cadrados perfectos comeza por 1, 1225, 1413721,... (secuencia A046177 na OEIS)

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Hexagonal Number". MathWorld. 

Véxase tamén

Outros artigos

• Número hexagonal centrado
• Número triangular
• Número cadrado perfecto