Norma dun corpo

En matemáticas, a norma dun corpo é unha asignación particular definida na teoría de corpos, que mapea elementos dun corpo máis grande nun subcorpo.

Definición formal

Sexa K un corpo e L unha extensión finita (e polo tanto unha extensión alxébrica) de K.

O corpo L é entón un espazo vectorial de dimensión finita sobre K .

A multiplicación por α dun elemento de L,

$m_{\alpha }\colon L\to L$

$m_{\alpha }(x)=\alpha x$,

é unha transformación K-linear deste espazo vectorial en si mesmo.

A norma, N _L/K (α), defínese como o determinante desta transformación linear.

Se L/K é unha extensión de Galois, pódese calcular a norma de α ∈ L como o produto de todos os conxugados de Galois de α:

$\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ),$

onde Gal(L/K) denota o grupo de Galois de L/K. (Teña en conta que pode haber unha repetición nos termos do produto).

Para unha extensión xeral do corpo L/K, e α distinto de cero en L, sexan σ₁(α), ... , σ_n (α) as raíces do polinomio mínimo de α sobre K (raíces listadas con multiplicidade e situadas nalgún corpo de extensión de L); entón

$\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\left(\prod _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha )\right)^{[L:K(\alpha )]}$ .

Se L/K é separábel, entón cada raíz aparece só unha vez no produto (aínda que o expoñente, o grao da extensión [L:K(α)], aínda pode ser maior que 1).

Exemplos

Extensións de corpo cadrático

Un dos exemplos básicos de normas provén das extensións de corpos cadráticos $\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q}$ onde $a$ é un enteiro libre de cadrados.

Despois, o mapa de multiplicación por ${\sqrt {a}}$ sobre un elemento $x+y\cdot {\sqrt {a}}$ é

${\sqrt {a}}\cdot (x+y\cdot {\sqrt {a}})=y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}}.$

O elemento $x+y\cdot {\sqrt {a}}$ pode ser representado polo vector

${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},$

xa que hai unha descomposición de suma directa $\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {a}}$ como a $\mathbb {Q}$-espazo vectorial.

A matriz de $m_{\sqrt {a}}$ é daquela

$m_{\sqrt {a}}={\begin{bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}$

e a norma é $N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {a}})=-a$, xa que é o determinante desta matriz.

Norma de Q(√2)

Considere o corpo de números alxébricos $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ .

O grupo de Galois de $K$ sobre $\mathbb {Q}$ ten orde $d=2$ e é xerado polo elemento que envía ${\sqrt {2}}$ a $-{\sqrt {2}}$. Logo, a norma de $1+{\sqrt {2}}$ é:

$(1+{\sqrt {2}})(1-{\sqrt {2}})=-1.$

A norma do corpo tamén se pode obter sen o grupo de Galois .

Fixemos unha $\mathbb {Q}$-base de $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$, digamos:

$\{1,{\sqrt {2}}\}$ .

Daquela a multiplicación polo número $1+{\sqrt {2}}$ envía

1 a $1+{\sqrt {2}}$ e

${\sqrt {2}}$ a $2+{\sqrt {2}}$ .

Daquela, o determinante de "multiplicar por $1+{\sqrt {2}}$ " é o determinante da matriz que envía o vector

${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ (correspondente ao primeiro elemento da base, é dicir, 1) a ${\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$,

${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$ (correspondente ao segundo elemento da base, é dicir, ${\sqrt {2}}$ ) a ${\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}$,

a saber:

${\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}.$

O determinante desta matriz é −1.

extensións do corpo raíz p-ésima

Outra clase sinxela de exemplos provén das extensións de corpo da forma $\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q}$ onde a factorización prima de $a\in \mathbb {Q}$ non contén potencias $p$-ésimas, para $p$ un primo impar fixo.

O mapa de multiplicación por ${\sqrt[{p}]{a}}$ dun elemento é

${\begin{aligned}m_{\sqrt[{p}]{a}}(x)&={\sqrt[{p}]{a}}\cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&=a_{0}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}$

dando a matriz

${\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&a\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}$

O determinante dá a norma

$N_{\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt[{p}]{a}})=(-1)^{p-1}a=a.$

Números complexos sobre os reais

A norma de corpo dos números complexos nos números reais envía

x + iy

a

x² + y²,

porque o grupo de Galois de $\mathbb {C}$ sobre $\mathbb {R}$ ten dous elementos,

• o elemento identidade e
• a conxugación complexa,

e tomando o produto obtense (x + iy)(x − iy) = x² + y².

Corpos finitos

Sexa L = GF(qⁿ) unha extensión finita dun corpo finito K = GF( q).

Dado que L/K é unha extensión de Galois, se α está en L, entón a norma de α é o produto de todos os conxugados de Galois de α, é dicir

$\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{(q^{n}-1)/(q-1)}.$

Nesta configuración temos as propiedades adicionais,

• $\forall \alpha \in L,\quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q})=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )$
• $\forall a\in K,\quad \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{n}.$

Propiedades da norma

Hai varias propiedades da función norma para calquera extensión finita.

Homomorfismo de grupos

A norma N_L/K : L* → K* é un homomorfismo de grupos do grupo multiplicativo de L no grupo multiplicativo de K, é dicir

$\operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{ para todo }}\alpha ,\beta \in L^{*}.$

A maiores, se a en K :

$\operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ para todo }}\alpha \in L.$

Se a ∈ K entón $\operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{[L:K]}.$

Composición con extensións de corpo

A maiores, a norma compórtase ben en torres de corpos :

se M é unha extensión finita de L, entón a norma de M en K é só a composición da norma de M en L coa norma de L en K, é dicir.

$\operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}.$

Redución da norma

A norma dun elemento nunha extensión de corpo arbitraria pode reducirse a un cálculo máis sinxelo se xa se coñece o grao da extensión de corpo. Isto é

$N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L:K(\alpha )]}$

Por exemplo, para $\alpha ={\sqrt {2}}$ na extensión de corpo $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}),K=\mathbb {Q}$, a norma de $\alpha$ é

${\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}$

xa que o grao de extensión do corpo $L/K(\alpha )$ é $2$.

Detección de unidades

Para ${\mathcal {O}}_{K}$ o anel de números enteiros dun corpo numérico alxébrico $K$, un elemento $\alpha \in {\mathcal {O}}_{K}$ é unha unidade se e só se $N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\pm 1$ .

Por exemplo

$N_{\mathbb {Q} (\zeta _{3})/\mathbb {Q} }(\zeta _{3})=1$

onde

$\zeta _{3}^{3}=1$ .

Así, calquera corpo numérico $K$ cuxo anel de enteiros ${\mathcal {O}}_{K}$ contén $\zeta _{3}$ teno como unidade.

Véxase tamén

Bibliografía

• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997) [1983]. Finite Fields. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 20 (Second ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-39231-4. Zbl 0866.11069. 
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013). Handbook of Finite Fields. CRC Press. ISBN 978-1-4398-7378-6. 
• Roman, Steven (2006). Field theory. Graduate Texts in Mathematics 158 (Second ed.). Springer. Chapter 8. ISBN 978-0-387-27677-9. Zbl 1172.12001. 
• Rotman, Joseph J. (2002). Advanced Modern Algebra. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-087868-7. 

Outros artigos

• Traza dun corpo.
• Norma dun ideal.