Onda mecánica

Exemplo de onda mecánica.

Unha onda mecánica é unha perturbación das propiedades mecánicas dun medio material (posición, velocidade e enerxía dos seus átomos ou moléculas) que se propaga nun medio.

Todas as ondas mecánicas requiren de:

1. Algunha fonte que cree a perturbación.
2. Un medio no que se propague a perturbación.
3. Algún medio físico a través do cal elementos do medio poidan influír un noutro.

O son é o exemplo máis coñecido de onda mecánica, que nos fluídos se propaga como onda lonxitudinal de presión. Os terremotos, tamén, modelízanse como ondas elásticas que se propagan polo terreo. Por outra parte, as ondas electromagnéticas non son ondas mecánicas, pois non requiren un material para propagarse, xa que non consisten na alteración das propiedades mecánicas da materia (aínda que poidan alteralas en determinadas circunstancias) e poden propagarse polo espazo libre (sen materia).

Ondas sonoras

Unha onda sonora é un caso de particular de elástica, concretamente unha onda elástica lonxitudinal. Os fluídos son medios continuos que se caracterizan por non ter rixidez e polo tanto non poden transmitir ondas elásticas transversais, só lonxitudinais de presión.

Ondas elásticas

Artigo principal: Onda elástica.

Nun medio elástico non sometido a forzas volumétricas a ecuación de movemento dunha onda elástica que relaciona a velocidade de propagación coas tensións existentes no medio elástico veñen dadas, usando o convenio de sumación de Einstein, por:

(1)

${\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}=\rho \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}\right)$

Onde $\rho \,$ é a densidade e o termo entre parénteses da segunda parte coincide coa aceleración ou derivada segunda do desprazamento. Reescribindo a ecuación anterior en función dos desprazamentos producidos pola onda elástica, mediante as ecuacións de Lamé-Hooke e as relacións do tensor deformación co vector desprazamento, temos:

(2a)

${\frac {E}{2(1+\nu )}}{\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{k}^{2}}}+{\frac {E}{2(1+\nu )(1-2\nu )}}{\frac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{k}\partial x_{i}}}=\rho {\ddot {u}}_{i}$

Que escrita na forma vectorial convencional resulta:

(2b)

${\frac {E}{2(1+\nu )}}\Delta \mathbf {u} +{\frac {E}{2(1+\nu )(1-2\nu )}}{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} )=\rho {\ddot {\mathbf {u} }}$

Ondas planas

Artigo principal: Onda plana.

En xeral, unha onda elástica pode ser unha combinación de ondas lonxitudinais e de ondas transversais. Unha maneira simple de demostrar isto é considerar a propagación de ondas planas nas que o vector de desprazamentos provocados polo paso da onda ten a forma $\mathbf {u} =\mathbf {u} (x,t)$. Neste caso a ecuación (2b) redúcese para unha onda plana a:

${\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{v_{L}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}},\qquad {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{v_{T}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}},\qquad {\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{v_{T}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial x^{2}}}$

Nas ecuacións anteriores o compoñente X é unha onda lonxitudinal que se propaga con velocidade $v_{L}$ mentres que o compoñente nas outras dúas direccións é transversal e propágase con velocidade $v_{T}$. A velocidade da onda lonxitudinal e da onda transversal veñen dadas por:

$v_{L}={\sqrt {\frac {\lambda +2\mu }{\rho }}}={\sqrt {\frac {E(1-\nu )}{\rho (1+\nu )(1-2\nu )}}},\qquad v_{T}={\sqrt {\frac {\mu }{\rho }}}={\sqrt {\frac {E}{2\rho (1+\nu )}}}$

Sendo:

$E,\nu \,$, o módulo de Young e o coeficiente de Poisson, respectivamente.

Ondas P e S

Unha onda elástica que responde á ecuación (2b) pode descompoñerse, mediante a descomposición de Helmholtz para campos vectoriais, nun compoñente lonxitudinal ao longo da dirección de propagación e nunha onda transversal á mesma. Estes dous compoñentes denomínanse usualmente compoñente P (onda Primaria) e compoñente S (onda Secundaria).

Para ver isto, defínense os potenciais de Helmholtz do campo de desprazamento:

$\mathbf {u} =\mathbf {u} _{L}+\mathbf {u} _{T},\qquad {\begin{cases}\mathbf {u} _{L}={\boldsymbol {\nabla }}\phi \\\mathbf {u} _{T}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\psi }}\end{cases}}$