Campo vectorial

En cálculo vectorial e física, un campo vectorial é unha asignación dun vector a cada punto dun espazo, ou máis comunmente espazo euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$ .^[1] Un campo vectorial nun plano pódese visualizar como unha colección de frechas con magnitudes e direccións dadas, cada unha unida a un punto do plano. Os campos vectoriais úsanse a miúdo para modelar, por exemplo, a velocidade e a dirección dun fluído en movemento ao longo do espazo tridimensional, como o vento, ou a forza e dirección dalgunha forza, como a forza magnética ou gravitatoria, xa que muda dun punto a outro punto.

Os elementos do cálculo diferencial e integral esténdense naturalmente aos campos vectoriais. Cando un campo vectorial representa a forza, a integral de liña dun campo vectorial representa o traballo realizado por unha forza que se move ao longo dun camiño e, baixo esta interpretación , a conservación da enerxía preséntase como un caso especial do teorema fundamental do cálculo.

Os campos vectoriais son frecuentemente vistos en subconxuntos abertos do espazo euclidiano, mais tamén teñen sentido noutros subconxuntos como as superficies, onde asocian unha frecha tanxente á superficie en cada punto (un vector tanxente). De xeito máis xeral, os campos vectoriais defínense en variedades diferenciables, que son espazos que parecen espazos euclidianos a escalas pequenas, mais poden ter unha estrutura máis complicada a escalas maiores. Nesta configuración, un campo vectorial dá un vector tanxente en cada punto da variedade (é dicir, unha sección do fibrado tanxente á variedade). Os campos vectoriais son un tipo de campo tensorial.

Definición

Campos vectoriais en subconxuntos do espazo euclidiano

Dado un subconxunto $S$ de $R n$ , un campo vectorial represéntase mediante unha función con valores vectoriales $V : S \to R n$ en coordenadas cartesianas estándar $(x 1, \dots, x n)$ . Se cada compoñente de $V$ é continua, daquela $V$ é un campo vectorial continuo. É común centrarse en campos vectoriais suaves, o que significa que cada compoñente é unha función suave (diferenciable calquera número de veces). Un campo vectorial pódese visualizar como asignando un vector a puntos individuais dentro dun espazo n-dimensional.^[1]

Unha notación estándar é escribir ${\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ para os vectores unitarios nas direccións de coordenadas. Nestes termos, todo campo vectorial suave $V$ nun subconxunto aberto $S$ de ${\mathbf {R} }^{n}$ pódese escribir como

\sum _{i=1}^{n}V_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}

para algunhas funcións suaves $V_{1},\ldots ,V_{n}$ en $S$ . ^[2] A razón desta notación é que un campo vectorial determina un mapa linear desde o espazo de funcións suaves ata si mesmo, $V\colon C^{\infty }(S)\to C^{\infty }(S)$ , dada pola diferenciación na dirección do campo vectorial.

Exemplo : o campo vectorial $-x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}$ describe unha rotación no sentido antihorario arredor da orixe en $\mathbf {R} ^{2}$ . Para mostrar que a función $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ é rotacionalmente invariante, calculamos:

{\bigg (}-x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\bigg )}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=-x_{2}(2x_{1})+x_{1}(2x_{2})=0.

Dados os campos vectoriais $V$ , $W$ definidos en $S$ e unha función suave $f$ definida en $S$ , as operacións de multiplicación escalar e adición de vectores, $(fV)(p):=f(p)V(p)$ $(V+W)(p):=V(p)+W(p),$ converten os campos vectoriais suaves nun módulo sobre o anel de funcións suaves, onde a multiplicación de funcións se define punto a punto.

Campos vectoriais en variedades

Dada unha variedade diferenciable $M$ , un campo vectorial en $M$ é unha asignación dun vector tanxente a cada punto en $M$ .^[2]Máis precisamente, un campo vectorial $F$ é un mapeo de $M$ no feixe tanxente $TM$ así que $p\circ F$ é o mapeo de identidade onde $p$ denota a proxección de $TM$ en $M$ . Noutras palabras, un campo vectorial é unha sección do fibrado tanxente.

Exemplos

Campo de velocidades dun fluído en movemento. Neste caso, asóciase un vector velocidade a cada punto do fluído.
Campos magnéticos. As liñas de campo pódense revelar usando pequenas limaduras de ferro.
As ecuacións de Maxwell permítennos usar un determinado conxunto de condicións iniciais e de contorna para deducir, para cada punto do espazo euclidiano, unha magnitude e dirección para a forza experimentada por unha partícula de proba cargada nese punto; o campo vectorial resultante é o campo eléctrico.
Un campo gravitatorio xerado por calquera obxecto masivo tamén é un campo vectorial. Por exemplo, os vectores do campo gravitatorio dun corpo esféricamente simétrico apuntarían cara ao centro da esfera coa magnitude dos vectores reducindo a medida que aumenta a distancia radial do corpo.

Campo gradiente en espazos euclidianos

Os campos vectoriais pódense construír a partir de campos escalares usando o operador de gradiente (indicado por nabla : ∇).

Un campo vectorial V definido nun conxunto aberto S denomínase campo de gradiente se existe unha función de valor real (un campo escalar) f en S tal que $V=\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).$

O fluxo asociado chámase fluxo gradiente, e úsase no método de descenso do gradiente.

A integral de liña ao longo de calquera curva pechada γ ( γ (0) = γ (1)) nun campo conservativo é cero: $\oint _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\oint _{\gamma }\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =f(\gamma (1))-f(\gamma (0)).$

Operacións sobre campos vectoriais

Integral de liña

Unha técnica común en física é integrar un campo vectorial ao longo dunha curva, tamén chamada determinación da súa integral de liña.

A integral de liña constrúese de xeito análogo á integral de Riemann e existe se a curva é rectificable (ten lonxitude finita) e o campo vectorial é continuo.

Dado un campo vectorial $V$ e unha curva $γ$ , parametrizada por $t$ en [a, b] (onde $a$ e $b$ son números reais), a integral de liña defínese como $\int _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{a}^{b}V(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t.$

Diverxencia

A diverxencia dun campo vectorial no espazo euclidiano é unha función (ou campo escalar). En tres dimensións, a diverxencia defínese por $\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}},$

a diverxencia nun punto representa o grao en que un pequeno volume ao redor do punto é unha fonte ou un sumidoiro para o fluxo vectorial, resultado que se fai preciso polo teorema da diverxencia.

Rotacional en tres dimensións

O rotacional (curl en inglés) é unha operación que toma un campo vectorial e produce outro campo vectorial. O rotacional defínese só en tres dimensións, maisalgunhas propiedades do rotacional pódense capturar en dimensións máis altas mediante a derivada exterior. En tres dimensións, defínese por $\operatorname {curl} \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}-\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}.$

Índice dun campo vectorial

O índice dun campo vectorial é un número enteiro que axuda a describir o seu comportamento arredor dun cero illado (é dicir, unha singularidade illada do campo). No plano, o índice toma o valor −1 nunha singularidade de sela pero +1 nunha singularidade fonte ou sumidoiro.

O índice non está definido en ningún punto non singular (é dicir, un punto onde o vector é distinto de cero). É igual a +1 ao redor dunha fonte, e máis xeralmente igual a (−1) ^k ao redor dunha sela que ten k dimensións de contracción e n-k dimensións de expansión.

Campos vectoriais completos

Por definición, un campo vectorial activado $M$ chámase completo se cada unha das súas curvas de fluxo existen sempre.^[3] En particular, os campos vectoriais soportados de forma compacta nunha variedade están completos. Se $X$ é un campo vectorial completo sobre $M$ , entón o grupo dun parámetro de difeomorfismos xerados polo fluxo ao longo $X$ existe para sempre; descríbese mediante un mapeo suave

\mathbf {R} \times M\to M.

O corchete de Lie

Os fluxos asociados a dous campos vectoriais non teñen que conmutar entre si. O seu fracaso para ter a propiedade conmutativa descríbese polo corchete de Lie de dous campos vectoriais, que é de novo un campo vectorial. O corchete de Lie ten unha definición sinxela en termos da acción dos campos vectoriais sobre funcións suaves $f$ :

[X,Y](f):=X(Y(f))-Y(X(f)).

Notas

↑ ^1,0 ^1,1 Galbis, Antonio; Maestre, Manuel (2012). Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. p. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.
↑ ^2,0 ^2,1 Tu, Loring W. (2010). "Vector fields". An Introduction to Manifolds. Springer. p. 149. ISBN 978-1-4419-7399-3.
↑ Sharpe, R. (1997). Differential geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94732-9.