Oscilador harmónico cuántico

Varias traxectorias dun oscilador harmónico consonte as leis de Newton da mecánica clásica (A-B), e consonte a ecuación de Schrödinger da mecánica cuántica (C-H). En (A-B), a partícula (representada coma unha bola atada a un resorte que salta) oscilando dun lado a outro. En (C-H), amósanse algunhas solucións da ecuación de Schrödinger, sendo o eixo horizontal a posición, é o eixo vertical a parte real (azul) ou a parte imaxinaria (vermello) da función de onda. (C,D,E,F), pero non (G,H), están en estados estacionarios. (H) está nun estado coherente, un estado cuántico que se achega á traxectoria clásica.

O oscilador harmónico cuántico é o análogo cuántico do oscilador harmónico clásico. É un dos modelos máis importantes de sistemas mecánicos cuánticos, pois como sucede na mecánica clásica, toda unha ampla gama de situacións físicas pode ser reducida a un mesmo modelo, de xeito exacto ou aproximado. En particular, un sistema nun estado próximo a unha configuración de equilibrio pode ser con frecuencia descrito en termos dun ou máis osciladores harmónicos. Ademais, é un dos poucos sistemas mecanocuánticos con solución coñecida exacta e sinxela.

A seguinte discusión do oscilador harmónico cuántico está relacionada co artigo sobre formulación matemática da mecánica cuántica.

Oscilador harmónico unidimensional

Hamiltoniano e autoestados da enerxía

Representacións da función de onda para os primeiros seis autoestados, n = 0 a 7. a eixe horizontal amosa a posición x. Os gráficos non están normalizados

Densidades de probabilidade |ψ_n(x)|² para os autoestados dunha partícula encerrada, comezando co estado de menor enerxía (n = 0) abaixo e incrementando en enerxía cara enriba. O eixe horizontal amosa a posición x, e as cores máis brillantes representan altas probabilidades de densidade.

No problema do oscilador harmónico unidimensional, unha partícula de masa m é suxeito a un potencial V(x) = (1/2)mω² x². O Hamiltoniano da partícula é:

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}$

onde x é o operador posición, e p é o operador momento $\left(p=-i\hbar {\partial \over \partial x}\right)$. O primeiro termo representa a enerxía cinética da partícula, e o segundo termo representa o potencial enerxético no que se atopa. Para atopar os niveis de enerxía e os correspondentes estados enerxéticos, debemos solucionar a ecuación de Schrödinger independente do tempo,

$H\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle$.

Podemos solucionar a ecuación diferencial na base de coordenadas correspondente usando o método da serie de potencias. Resulta haber unha familia de solucións,

$\left\langle x|\psi _{n}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)$

$n=0,1,2,\ldots$

As primeiras seis solucións (n = 0 a 5) amósanse á dereita. As funcións $H_{n}$ son os Polinomios de Hermite:

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}$

Non deben ser confundidas co Hamiltoniano, asemade notado como H. Os correspondentes niveis enerxéticos son

$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)$.

Este espectro enerxético é significativo por dúas razóns. En primeiro lugar, as enerxías están 'cuantizadas', polo que só poden tomar valores discretos de $\hbar \omega$ veces 1/2, 3/2, 5/2, e así sucesivamente. Este feito é compartido con moitos sistemas mecanocuánticos (a seguinte sección de operadores de escada faremos unha exame máis detallada deste fenómeno). en segundo termo, a enerxía máis baixa que se pode acadar non é cero, senón $\hbar \omega /2$, a chamada 'enerxía do estado fundamental' ou enerxía do punto cero. No estado máis baixo, o fundamental, de acordo coa mecánica cuántica, un oscilador non realiza oscilacións e a súa enerxía cinética media é positiva. Non é obvio o que isto significa, pois de xeito común o cero da enerxía non ten un significado físico como cantidade (representa un punto acordado previamente como cero nunha determinada escala), senón que son as diferenzas de enerxía as que o teñen. Porén, o estado fundamental de enerxía ten moitas implicacións, en particular na gravidade cuántica.

A notar que a densidade de probabilidade do estado fundamental está concentrada na orixe. Isto significa que a partícula pasa a maioría do seu tempo no fondo do potencial, como se pode esperar para un estado de pouca enerxía. Ó incrementar a enerxía, a densidade de probabilidade váis concentrando nos 'puntos de retorno clásicos', nos que o estado enerxético coincide coa enerxía potencial. Isto é consistente co oscilador harmónico clásico, no que a partícula pasa a maioría do seu tempo (e polo tanto pode ser atopada alí con máis probabilidade que noutro lugar) nos puntos de retorno, nos que é máis lenta. Así se satisfai o Principio de correspondencia.

Método de operadores de escada

A solución de desenvolvemento en series é dereita pero tediosa. O método do "operador de escada", debido a Paul Dirac, permítenos extraer os autovalores (valores propios) da enerxía sen resolver de xeito dereito a ecuación diferencial. Con todo, é xeneralizable de xeito doado a problemas máis complicados, en particular na teoría cuántica de campos. Seguindo esta aproximación, definimos os operadores a e o seu adxunto a^†

${\begin{matrix}a&=&{\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x+{i \over m\omega }p\right)\\a^{\dagger }&=&{\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x-{i \over m\omega }p\right)\end{matrix}}$

O operador a non é Hermítico pois el e o seu adxunto a^† non son iguais.

Os operadores a e a^† teñen as seguintes propiedades:

${\begin{matrix}a\left|\phi _{n}\right\rangle &=&{\sqrt {n}}\left|\phi _{n-1}\right\rangle \\a^{\dagger }\left|\phi _{n}\right\rangle &=&{\sqrt {n+1}}\left|\phi _{n+1}\right\rangle \end{matrix}}$

Derivando a forma de a^†, usamos o feito de que os operadores x e p, que representan observables, son Hermíticos. Estes operadores observables poden expresarse como combinación lineal dos operadores de escada como

${\begin{matrix}x&=&{\sqrt {\hbar \over 2m\omega }}\left(a^{\dagger }+a\right)\\p&=&i{\sqrt {{\hbar }m\omega \over 2}}\left(a^{\dagger }-a\right)\end{matrix}}$

Os operadores x e p obedecen a seguinte identidade, coñecida como relación de conmutación canónica:

$\left[x,p\right]=i\hbar$.

Os corchetes son un sistema de notación usual, coñecido como conmutador, definido como

$\left[A,B\right]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ AB-BA$.

Usando o anterior, podemos probar as identidades

$H=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+1/2\right)$

$\left[a,a^{\dagger }\right]=1$.

Agora, $\left|\psi _{E}\right\rangle$ denota un autoestado enerxético con enerxía E. O produto interno dun 'ket' consigo mesmo debe ser non negativo, é dicir,

$\left(a\left|\psi _{E}\right\rangle ,a\left|\psi _{E}\right\rangle \right)=\left\langle \psi _{E}\right|a^{\dagger }a\left|\psi _{E}\right\rangle \geq 0$.

Expresando a^†a en termos do hamiltoniano:

$\left\langle \psi _{E}\right|{H \over \hbar \omega }-{1 \over 2}\left|\psi _{E}\right\rangle =\left({E \over \hbar \omega }-{1 \over 2}\right)\geq 0$,

co que $E\geq \hbar \omega /2$. A notar que cando ($a\left|\psi _{E}\right\rangle$) é o 'ket' cero (i.e. un ket con lonxitude cero), a desigualdade cumprida, co que $E=\hbar \omega /2$. De aí pode avaliarse que existe un estrado que satisfai esta condición; é o estado fundamental (n = 0) dado na sección precedente.

Usando as identidades anteriores, podemos amosar que as relacións de commutación de a e a^† con H son:

${\begin{matrix}\left[H,a\right]&=&-\hbar \omega a\\\left[H,a^{\dagger }\right]&=&\hbar \omega a^{\dagger }\end{matrix}}$.

Así, se ($a\left|\psi _{E}\right\rangle$) é un ket diferente de cero,

${\begin{matrix}H(a\left|\psi _{E}\right\rangle )&=&(\left[H,a\right]+aH)\left|\psi _{E}\right\rangle \\&=&(-\hbar \omega a+aE)\left|\psi _{E}\right\rangle \\&=&(E-\hbar \omega )(a\left|\psi _{E}\right\rangle )\end{matrix}}$.

de xeito semellante, podemos amosar que

$H(a^{\dagger }\left|\psi _{E}\right\rangle )=(E+\hbar \omega )(a^{\dagger }\left|\psi _{E}\right\rangle )$.

Noutras verbas, a actúa sobre un autoestado de enerxía E para producir, por medio dunha constante multiplicativa, outro autoestado de enerxía $E-\hbar \omega$, e a^† actúa sobre un autoestado de enerxía E para producir un autoestado de enerxía $E+\hbar \omega$. debido a ilo, a chámase "operador de baixada" e a^† "operador de subida". Ambos operadores en conxunto son chamados "operadores de escada". Na teoría cuántica de campos, a e a^† son alternativamente chamados operadores "aniquilación" e "creación" pois 'destrúen' e 'crean' partículas, de xeito correspondente co noso cuanto de enerxía.

Dado ou autoestado enerxético, podemos actuar sobre el co operador baixada, a, para producir outro autoestado con $\hbar \omega$, menor enerxía. Por aplicación repetida deste operador, parece que poidamos producir autoestados enerxéticos por debaixo de E = −∞. Non embargantes, isto pode contradicir o noso requirimento anterior de que $E\geq \hbar \omega /2$. Polo tanto, debe haber un estado fundamental (considerado como estado de mínima altura ou 'estado terra', en inglés 'ground-state') autoestado da enerxía, que etiquetaremos $\left|0\right\rangle$ (non confundir co ket cero), tal que

$a\left|0\right\rangle =0{\hbox{(zero ket)}}$.

Nese caso, aplicacións continaudas do operador baixada producirán kets cero, en troques de autoestados enerxéticos adicionais. Polo tanto, temos amosado que

$H\left|0\right\rangle =(\hbar \omega /2)\left|0\right\rangle$

Finalmente, actuando sobre $\left|0\right\rangle$ co opetrador subida e multiplicando por factores de normalización apropiados, podemos producir un conxunto infinito de autoestados de enerxía $\left\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle ,...,\left|n\right\rangle ,...\right\}$, tales que

$H\left|n\right\rangle =\hbar \omega (n+1/2)\left|n\right\rangle$

o que coincide co espectro enerxético que foi amosado na sección precedente.

Lonxitude natural e escalas de enerxía

O oscilador harmónico cuántico posúe escadas naturais apra lonxitude e enerxía, podendo usarse para simplificar o problema. Estas escadas poden ser atopadas por redimensionalización. O resultado é que se medimos a enerxía en unidades de $\hbar \omega$ e a distancia en unidades de $\left(\hbar /\left(m\omega \right)\right)^{1/2}$, entón, a ecuación de Schrödinger aparece como:

$H=-{1 \over 2}{\partial ^{2} \over \partial u^{2}}+{1 \over 2}u^{2}$,

e as autofuncións e autovalores da enerxía,

$\left\langle x|\psi _{n}\right\rangle ={1 \over {\sqrt {2^{n}n!}}}\pi ^{-1/4}{\hbox{exp}}(-u^{2}/2)H_{n}(u)$

$E_{n}=n+{1 \over 2}$.

Para evitar confusión, non adoitaremos estas unidades naturais neste artigo. Non embargantes, son manexadas a miúdo cando se realzian cálculos.

Exemplo: moléculas diatómicas

Nas moléculas diatómicas, a frecuencia natural pode ser atopada por: [1]

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m_{r}}}}$

onde

$\omega =2\pi f$   é a frecuencia angular,

k é a constante de forza de ligazón, e

$m_{r}$ é a masa reducida.

Oscilador harmónico n-dimensional

O oscilador harmónico unidimensional é xeralizable a N dimensións, onde N = 1, 2, 3, ... . nunha dimensión, a posición da partícula é especificada por unha única coordenada, x. En N dimensións, é substituída por N coordenadas de posición, que etiquetamos x₁, ..., x_N. de xeito correspondente a cada coordenada de posición existe un momento; etiquetamos estes como p₁, ..., p_N. As relacións de conmutación canónicas entre estes operadores son

${\begin{matrix}\left[x_{i},p_{j}\right]&=&i\hbar \delta _{i,j}\\\left[x_{i},x_{j}\right]&=&0\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=&0\end{matrix}}$.

O Hamiltoniano para este sistema é

$H=\sum _{i=1}^{N}\left({p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x_{i}^{2}\right)$.

Como ilustra a forma do hamiltoniano, o oscilador harmónico N-dimensional é exactamente anánlogo a N osciladores harmónicos unidimensionais independentes coa mesma masa e constante elástica. Nese caso, as cantidades x₁, ..., x_N referirán as posicións de cada unha das N partículas. É unha feliz propiedade do potencial en r², que permite que a enerxía potencial sexa separada en termos, de xeito dependente dunha coordenada ó tempo.

esta observación facilita a solución. para un conxunto particular de números cuánticos {n} as autofuncións da enerxía para o oscilador N-dimensional son expresadas en termos das autofuncións unidimensionais como:

$\langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle =\prod _{i=1}^{N}\langle x_{i}|\psi _{n_{i}}\rangle$

No método dos operadores de escada, definimos N conxuntos de operadores de escada,

${\begin{matrix}a_{i}&=&{\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}+{i \over m\omega }p_{i}\right)\\a_{i}^{\dagger }&=&{\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}-{i \over m\omega }p_{i}\right)\end{matrix}}$.

Por un procedemento análogo ó do caso unidimensional, podemos amosar que cada un dos operadores a_i e a^†_i sobe e baixa a enerxía nunha cantidade ℏω respectivamente. O hamiltoniano é

$H=\hbar \omega \,\sum _{i=1}^{N}\left(a_{i}^{\dagger }\,a_{i}+{\frac {1}{2}}\right).$

Este hamiltoniano é invariante baixo o grupo de simetría dinámica U(N) (o grupo unitario en N dimensións), definido por

$U\,a_{i}^{\dagger }\,U^{\dagger }=\sum _{j=1}^{N}a_{j}^{\dagger }\,U_{ji}\quad {\hbox{for all}}\quad U\in U(N),$

onde $U_{ji}$ é un elemento na representación matricial de U(N).

Os niveis enerxéticos do sistema son

$E=\hbar \omega \left[(n_{1}+\cdots +n_{N})+{N \over 2}\right]$.

onde n_i é tal que i vai de 0 ó número de bosóns en modo i.

Como no caso unidimensional, a enerxía está cuantizada. O estado fundamental ten unha enerxía N veces a unidimensional, como poderiamos esperar usando a analoxía para N osciladores independentes unidimensionais. Hai unha diferenza máis notable: no caso unidimensional, cada nivel enerxético corresponde a un único estado cuántico. En N-dimensións, a excepción do estado fundamental, os niveis de enerxía están 'dexerados', é dicir, hai vairos estados coa mesma enerxía.

A dexeración pode ser calculada con relativa facilidade, como por exemplo se consideramos o caso tridimensional: Definimo n = n₁ + n₂ + n₃. todos os estados co mesmo n terán a mesma enerxía. Para un n dado, escollemos un particular n₁. Entón n₂ + n₃ = n − n₁. Hai n − n₁ + 1 posibles agrupamentos {n₂, n₃}. n₂ poden tomar os valores 0 a n − n₁, e por cada n₂ o valor de n₃ está fixado. O grao de dexeración é polo tanto:

$g_{n}=\sum _{n_{1}=0}^{n}n-n_{1}+1=\sum _{n_{1}=0}^{n}n+1-\sum _{n_{1}=0}^{n}n_{1}=(n+1)(n+1)-{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$

Fórmula para calqeura N e n [sendo g_n a dimensión da potencia n^th simétrica irreducible do grupo unitario U(N)]:

$g_{n}={\binom {N+n-1}{n}}$

O caso especial N = 3, dado anteriormente, séguese de xeito directo desta ecuación xeral.

Problemas relacionados

O oscilador harmónico cuántico pode ser estendido en moitas vías interesantes. discutiremos de xeito breve dúas das extensións máis importantes, o oscilador anharmónico e os osciladores harmónicos acoplados.

Oscilador anharmónico

Como foi dito na introdución, un sistema 'achegado' ó mínimo dalgún potencial pode ser tratado como un oscilador harmónico. Nesta aproximación, podemos considerar a enerxía potencial en función dunha Serie de Taylor arredor do mínimo e desprezar termos de orde 3 ou maior (isto é, considerar de xeito aproximado a función enerxía potencial como cuadrática). Unha volta estudados os sistemas nesta aproximación, quereremos investigar as correccións debidas ós termos descartados, en particular os de terceiro orde.

O Hamiltoniano do oscilador anharmónico ćorresponde ó harmónico cun potencial adiciona función de x³:

$H={p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}+\lambda x^{3}$

Se é válida a aproximación harmónica, o coeficiente λ é pequeno comparado co termo cuadrático. Podemos usar polo tanto a teoría das perturbacións para determinar as correccións a establecer e os niveis enerxéticos impostos polo termo anharmónico. Esta tarefa pode simplificarse por uso dos operadores de escala para reescribir o termo anharmónico como

$\lambda \left({\hbar \over 2m\omega }\right)^{3 \over 2}(a+a^{\dagger })^{3}.$

De aí se deduce que a corrección das enerxías desaparece para a terceira orde en λ. A corrección de segundo orde vén dada pola ecuación usual na teoría de perturbacións:

$\Delta E^{(2)}=\lambda ^{2}\left\langle \psi _{E}\right|x^{3}{1 \over E-H_{0}}x^{3}\left|\psi _{E}\right\rangle .$

a solución é direta, pero tediosa. Unha falla deste método, non embargantes, e'que non toma en conta a posibilidade de que apartícula sufra o efecto tunel, saíndo do potencial, pois está limitada en ambas caras (ver aproximación WKB).

Osciladores harmónicos acoplados

Neste problema, consideramos N masas iguais que están conectadas ás súas veciás por resortes, no límite dun grande N. as amsas forman unha cadea lineal nunha dimensión, ou unha rede regular en dúas ou tres dimensións.

Como ocorría na sección previa, notamos as posicións das masas por x₁, x₂, ..., en relación ás súas posicións de equilibrio (i.e. x_k = 0 se a partícula k está na súa posición de equilibrio, resultando así elongacións.) En dúas ou máis dimensións, as x son cantidades vectoriais. O Hamiltoniano do conxunto de sistema é

$H=\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(nn)}(x_{i}-x_{j})^{2}$

A enerxía potencial é sumada sobre os pares 'veciños achegados',co que hai un termo por cada resorte.

Pode verse que existe unha transformación de coordenadas que volta este problema nun conxunto de osciladores harmónicos independentes, cada un dos que corresponden a unha distorsión particular colectiva da rede. Estas distorsións ilustran algunhas propiedades de cuasi-partículas, sendo chamadas fonóns. Os fonóns teñen lugar nas redes iónicas de moitos sólidos, e son moi importantes para a compresnión de moitos dos fenómenos estudados na física do estado sólido.

Ver asemade

• Gas nunha trampa harmónica
• Operadores de creación e aniquilación
• Estado coherente
• Potencial Morse

Referencias (en inglés)

• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.

Ligazóns externas

• Quantum Harmonic Oscillator (inglés)