Pentación

Os primeiros tres valores da expresión x[5]2. O valor de 3[5]2 é ao redor de 7.626 × 10¹²; os resultados para valores de x maiores son demasiado grandes para aparecer na gráfica.

En matemáticas, a pentación é a hiperoperación que lle segue á tetración e é anterior á hexación. Defínese como a iteración (repetición) de tetracións, tal e como a tetración é a iteración da potenciación.^[1] É unha operación binaria definida con dous números a e b, onde a é «tetrado» a si mesmo b veces. Por exemplo, empregando a notación de hiperoperación para a pentación e tetración, $2[5]3$ quere dicir «tetrar» 2 a si mesmo 3 veces, ou $2[4](2[4]2)$ . Isto pódese reducir a $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$

Etimoloxía

A palabra «pentación» foi acuñada por Reuben Goodstein en 1947 das raíces penta- (cinco) e iteración. É parte do esquema xeral para nomear as hiperoperacións.^[2]

Notación

Non existe un consenso xeral para a notación da pentación; polo tanto existen varias maneiras de escribir a operación. Unhas úsanse máis que outras e existen distintas vantaxes entre unha e outra forma de uso.

A pentación pódese escribir como unha hiperoperación como $a[5]b$ . Neste formato, $a[3]b$ pode ser interpretado como o resultado de aplicar repetidamente a función $x\mapsto a[2]x$ , por $b$ repeticións, comezando co número 1. De forma análoga, $a[4]b$ , a tetración, representa o valor obtido ao aplicar repetidamente a función $x\mapsto a[3]x$ , por $b$ repeticións, comezando co número 1, e a pentación $a[5]b$ representa o valor obtido ao aplicar repetidamente a función $x\mapsto a[4]x$ , por $b$ repeticións, comezando co número 1.^[3] Esta será a notación usada no resto do artigo
Na notación frecha de Knuth, $a[5]b$ represéntase como $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ ou $a\uparrow ^{3}b$ . Nesta notación, $a\uparrow b$ representa á función potenciación $a^{b}$ e $a\uparrow \uparrow b$ representa á tetración. A operación pódese adaptar facilmente a hexación engadindo outra frecha.
Na notación de cadea de Conway, $a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3$ .^[4]
Outra notación proposta é ${_{b}a}$ , aínda que esta non é extensible a hiperoperacións de maior orde.^[5]

Exemplos

Os valores da función de pentación tamén poden ser obtidos dos valores na cuarta fila de valores nunha variante da función de Ackermann: se $A(n,m)$ defínese como a recorrencia de Ackermann $A(m-1,A(m,n-1))$ coas condicións iniciais $A(1,n)=an$ e $A(m,1)=a$ , entón $a[5]b=A(4,b)$ .^[6]

Como a tetración, a súa operación base, non se estende a alturas non enteiras, a pentación $a[5]b$ actualmente só está ben definida para valores enteiros de a e b onde $a>0$ e $b\geq -1$ , e uns poucos valores enteiros adicionais que poderían estar unicamente definidos. Como todas as hiperoperacións de orde 3 e maior, a pentación ten os seguintes casos triviais (identidades) que son verdadeiros para todos os valores de a e b no seu dominio:

$1[5]b=1$
$a[5]1=a$

Adicionalmente, pódense definir:

$a[5]0=1$
$a[5](-1)=0$

Ademais dos casos triviais arriba expostos, a pentación xera números extremadamente grandes moi rápidamente tal que só hai uns poucos casos non-triviais que producen números que poden ser escritos na notación convencional, como se mostra a continuación:

$2[5]2=2[4]2=2^{2}=4$
$2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536$
$2[5]4=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}$
(unha torre de 65536 expoñentes de altura)
$3[5]2=3[4]3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987$
$3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4]7.625.597.484.987=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}$
(unha torre de 7.625.597.484.987 expoñentes de altura)
$4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ (un número con máis de $10^{153}$ díxitos)
$5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)$ (un número con máis de $10^{10^{2184}}$ díxitos)