Tetración

Coloreado do dominio da tetración definida como función holomorfa ${}^{z}e$, co ton representando o argumento e o brillo representando o módulo.

En matemáticas, a tetración (ou hiper-4) é o seguinte hiperoperador despois da potenciación, e é definida como unha potenciación iterada. A palabra provén de tetra (catro) e ción (de iteración). A tetración é usada para a notación dos números moi grandes.

Introdución

Para entender a tetración hai que entender a relación xerárquica que teñen a suma, a multiplicación e a exponenciación: as multiplicacións poden entenderse como sumas repetidas, a potenciación como multiplicacións repetidas e a tetración como potenciacións repetidas. Todas estas operacións repetidas forman unha xerarquía de "hiperoperacións" que consisten en repetir certo número de veces a operación do nivel inferior. Aquí preséntanse exemplos dos primeiros catro operadores, coa tetración como o primeiro hiperoperador.

1. Adición

   $a+n=a+\!\underbrace {1+1+...+1} _{n}$

   a unidade 1 añadida a "a" n veces.

2. Multiplicación

   $a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}$

   a sumado n veces.

3. Potenciación

   $a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}$

   a multiplicado n veces.

4. Tetración

   ${^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}$

n copias de a combinadas por exponenciación, de dereita a esquerda.

Teña en conta que os expoñentes aniñados interprétanse convencionalmente de arriba abaixo: $a^{b^{c}}$ significa $a^{\left(b^{c}\right)}$ e non $\left(a^{b}\right)^{c}.$

Na tetración cada operación é definida mediante a iteración da operación previa (a seguinte operación na sucesión é a pentación). A peculiaridade da tetración entre estas operacións é que para as tres primeiras (adición, multiplicación e potenciación) poden ser xeneralizadas para valores complexos de n, mentres que para a tetración, tal xeneralización regular non está actualmente establecida; a tetración non é considerada unha función elemental.

A adición $(a+n)$ é a operación máis básica, a multiplicación $(an)$ é tamén unha operación primaria, aínda que para os números naturais pode ser pensada como a adición encadeada que implica n números a, e a potenciación $(a^{n})$ pode ser pensada como unha multiplicación encadeada que implica n números a.

Análogamente, a tetración $({}^{n}a)$ pode ser pensada como unha potencia encadeada con n expoñentes a. O parámetro a chámase base, mentres que o parámetro n, altura (que é enteiro na primeira aproximación, pero pódese xeneralizar a alturas fraccionais, reais e complexas)

Definición

Para calquera número real positivo $a>0$ e un número enteiro non negativo $n\geq 0$, defínese $\,\!{^{n}a}$ como:

${^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{se }}n=0\\a^{\left[^{(n-1)}a\right]}&{\text{se }}n>0\end{cases}}$

Exemplos de potencias iteradas contra bases iteradas/potenciación

Como se pode ver da definición, ao avaliar a tetración, esta exprésase como unha "torre de expoñentes", a potenciación realízase no nivel máis alto primeiro para que esta sexa irreducible. Dito doutro modo:

$\,\!^{4}2=2^{(2^{(2^{2})})}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536$

Nótese que a potenciación non é asociativa, así que avaliar a expresión noutra orde proporcionará unha resposta diferente ademais de incorrecta:

$\,\!\ ^{4}2=((2^{2})^{2})^{2}=({4^{2}})^{2}=16^{2}=256$

Simplificaríase a 2^(2^(4-1))=2^(2^3)=2^8=256, que é unha dobre exponencial.

Polo tanto, as torres exponenciais deben ser avaliadas de arriba abaixo (ou de dereita a esquerda), xa que a tetración é unha función exponencial iterada.

Propiedades

A tetración ten varias propiedades que son similares á potenciación, así como propiedades que son específicas da operación e que se perden ou gañan coa potenciación. Debido a que a potenciación non é conmutativa, as regras do produto e da potencia non teñen un análogo coa tetración; as afirmacións ${\textstyle {}^{a}\left({}^{b}x\right)=\left({}^{ab}x\right)}$ e ${\textstyle {}^{a}\left(xy\right)={}^{a}x{}^{a}y}$ non son certas para a maioría dos casos.

Pola contra, a tetración segue unha propiedade diferente, onde ${\textstyle {}^{a}x=x^{\left({}^{a-1}x\right)}}$. Este feito vese máis claramente usando unha definición recursiva. Desta propiedade séguese que $\left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}=\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}$, o que permite intercambiar b e c en determinadas ecuacións. A demostración desta propiedade é a seguinte:

${\begin{aligned}&\left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&\left(a^{{}^{b-1}a}\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{b-1}a\right)\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{c}a\right)\left({}^{b-1}a\right)}\\={}&\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}\end{aligned}}$

Cando un número x e 10 son coprimos, entón pódense computar as últimas m cifras decimais de $\,\!\ ^{a}x$ empregando o teorema de Euler, para calquera enteiro m. Isto é certo tamén noutras bases: por exemplo, as últimas m cifras octais de $\,\!\ ^{a}x$ pódense calcular cando x e 8 son coprimos.

Xeneralizacións

A tetración pódese xeneralizar de dúas maneiras diferentes; na ecuación $^{n}a!$, tanto a base a como a súa altura n pódense xeneralizar empregando a definición e as propiedades da tetración. Aínda que a base e a altura pódense xeneralizar máis alá dos enteiros non negativos a diferentes dominios, incluíndo ${^{n}0}$, funcións complexas como ${}^{n}i$, e alturas de infinito n, as propiedades máis limitadas da tetración reducen a capacidade de xeneralizala.

Base cero ou complexa

Base cero

A potencia $0^{0}$ non está definida de forma consistente. Polo tanto, as tetracións $\,{^{n}0}$ tampouco están claramente definidas pola fórmula dada anteriormente. Pola contra, $\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x$ está ben definida, e existe:

$\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ par}}\\0,&n{\text{ impar}}\end{cases}}$

Por ende, poderíamos definir consistentemente ${}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x$. Isto é análogo a definir $0^{0}=1$. Baixo esta xeneralización, ${}^{0}0=1$, polo que a regra ${{0}a}=1$ da definición orixinal segue vixente.

Bases complejas

Tetración por período

Tetración por escape

Dado que os números complexos pódense elevar a potencias, a tetración pódese aplicar a bases da forma z = a + bi (onde a e b son reais). Por exemplo, en ⁿz con z = i, a tetrización obtense empregando a rama principal do logaritmo natural; utilizando a fórmula de Euler obtemos a relación:

$i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)$

Isto suxire unha definición recursiva para ${}^{n+1}i=a'+b'i$ dado calquera ${}^{n}i=a+bi$:

${\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}$

Isto permite encontrar os seguintes valores aproximados:

Valores da tetración de bases complexas

${\textstyle {}^{n}i}$	Valor aproximado
${\textstyle {}^{1}i=i}$	i
${\textstyle {}^{2}i=i^{\left({}^{1}i\right)}}$	0.2079
${\textstyle {}^{3}i=i^{\left({}^{2}i\right)}}$	0.9472 + 0.3208i
${\textstyle {}^{4}i=i^{\left({}^{3}i\right)}}$	0.0501 + 0.6021i
${\textstyle {}^{5}i=i^{\left({}^{4}i\right)}}$	0.3872 + 0.0305i
${\textstyle {}^{6}i=i^{\left({}^{5}i\right)}}$	0.7823 + 0.5446i
${\textstyle {}^{7}i=i^{\left({}^{6}i\right)}}$	0.1426 + 0.4005i
${\textstyle {}^{8}i=i^{\left({}^{7}i\right)}}$	0.5198 + 0.1184i
${\textstyle {}^{9}i=i^{\left({}^{8}i\right)}}$	0.5686 + 0.6051i

Xeneralizacións para diferentes alturas

Alturas infinitas

$\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}x$ da potencial infinitamente iterada converxe para as bases $\textstyle \left(e^{-1}\right)^{e}\leq x\leq e^{\left(e^{-1}\right)}$.

A función $left|{\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}\ln {z}|$ no plano complexo, mostrando a función exponencial infinitamente iterada de valor real (curva negra)

A tetración pódese estender ás alturas infinitas; é dicir, para certos valores de a e n en ${}^{n}a$, existe un resultado ben definido para un n infinito. Isto débese a que para bases dentro dun certo intervalo, a tetrización converxe a un valor finito a medida que a altura tende ao infinito. Por exemplo, ${\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{}}}}}$ converxe a 2, e por tanto pódese dicir que é igual a 2. A tendencia a 2 pódese ver avaliando unha pequena torre finita:

${\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}$

En xeral, a pontencial infinitamente iterada $x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\!\!$, definida como o límite de ${}^{n}x$ a medida que n crece a infinito, converxe para $e^{-e}\leq x\leq e^{1/e}$, aproximadamente o intervalo de 0.066 a 1.44, resultado demostrado por Leonhard Euler. O límite, se existe, é unha solución real positiva da ecuación 1=y = x^y. Así, 1 =x = y^1/y. O límite que define a exponencial infinita de x non existe cando x > e^1/e porque o máximo de y^1/y é e^1/e. O límite tampouco existe cando 0 < x < e^-e. Isto pódese estender aos números complexos z coa definición:

${}^{infty}z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}~,$

onde $W$ representa a función W de Lambert.

Como o límite 1=y = ^∞x (se existe na recta real positiva, é dicir para e^-e ≤ x ≤ e^1/e) debe satisfacer 1=x^y = y vemos que 1=x ↦ y = ^∞x é (a rama inferior de) a función inversa de 1=y ↦ x = y^1/y.

Alturas negativas

Podemos utilizar a regra recursiva da tetración,

${^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},$

para demostrar que ${}^{-1}a$:

$^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right);$

Substituíndo -1 por k obtense

${}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0$.

Os valores negativos máis pequenos non poden ser ben definidos desta maneira. Substituíndo -2 por k na mesma ecuación obténse

${}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0=-\infty$

que non está ben definida. Mais, ás veces pódense considerar conxuntos.

Para $n=1$, calquera definición de $\,\!{^{-1}1}$ é consistente coa regra porque

${^{0}1}=1=1^{n}$ para calquera $,\!n={^{-1}1}$.

Alturas reais

Neste momento non existe unha solución comunmente aceptada para o problema xeral de estender a tetración aos valores reais ou complexos de n. Aínda así, existen múltiples enfoques cara esa cuestión, e a continuación esbózanse diferentes enfoques.

En xeral, o problema é encontrar, para calquera real a > 0, unha función superexponencial $,f(x)={}^{x}a$ sobre reais x > -2 que satisfaga

• $\,{}^{-1}a=0$
• $\,{}^{0}a=1$
• $\,{}^{x}a=a^{\left({}^{x-1}a\right)}$para todo número real $x>-1.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Daniel Geisler, tetration.org
• Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (undated, 2006 or earlier) (A simpler, easier to read review of the next reference)
• Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (undated, 2006 or earlier).
• Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals (An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)
• Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two, (2004). (Attempt to extend tetration to real numbers.)
• Ioannis Galidakis, Mathematics, (Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)
• Weisstein, Eric W. "Power Tower". MathWorld. 
• Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function Arquivado 26 de outubro de 2022 en Wayback Machine..
• Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials (Compilation of entries from questions about tetration on sci.math.)
• R. Knobel. "Exponentials Reiterated." American Mathematical Monthly 88, (1981), p. 235–252.
• Takeji Ueda. Extension of tetration to real and complex heights (2021).
• Hans Maurer. "Über die Funktion $y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}$ für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901), p. 33–50. (Reference to usage of $\ {^{n}a}$ from Knobel's paper.)
• Ripà, Marco (2011). La strana coda della serie n^n^...^n, Trento, UNI Service. ISBN 978-88-6178-789-6

Outros artigos

• Hiperoperación
• Pentación

Ligazóns externas

• Andrew Robbins' site on tetration
• Daniel Geisler's site on tetration
• Tetration Forum
• tetration at citizendium
• Gottfried Helms' site on tetration