Polinomio simétrico elemental

En matemáticas, concretamente en álxebra conmutativa, os polinomios simétricos elementais son un tipo de bloque básico para polinomios simétricos, no sentido de que calquera polinomio simétrico pode expresarse como polinomio en polinomios simétricos elementais. É dicir, calquera polinomio simétrico $P$ vén dado por unha expresión que só implica sumas e multiplicacións de constantes e polinomios simétricos elementais. Hai un polinomio simétrico elemental de grao $d$ en $n$ variábeis para todo número enteiro positivo $d \leq n$ , e fórmase sumando todos os produtos distintos de $d$ variábeis distintas.

Definición

Os polinomios simétricos elementais en $n$ variábeis $X 1, ..., X n$ , escritos $e k (X 1, ..., X n)$ para $k = 1, ..., n$ , defínense por

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n}X_{j},\\e_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k\leq n}X_{j}X_{k},\\e_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k<l\leq n}X_{j}X_{k}X_{l},\\\end{aligned}}

e igual para o resto, rematando con

e_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.

En xeral, para $k \geq 0$ definimos

e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}X_{j_{1}}\dotsm X_{j_{k}},

de xeito que $e k (X 1, ..., X n) = 0$ se $k > n$ . (Ás veces, $1 = e 0 (X 1, ..., X n)$ inclúese entre os polinomios simétricos elementais, pero excluíndoo permite unha formulación xeralmente máis sinxela de resultados e propiedades.)

Así, para cada número enteiro positivo $k$ menor ou igual a $n$ existe exactamente un polinomio simétrico elemental de grao $k$ en $n$ variábeis. Para formar o que ten o grao $k$ , sumamos todos os produtos de $k$ subconxuntos das $n$ variábeis . (Polo contrario, se se realiza a mesma operación usando varios conxuntos de variábeis, é dicir, tomando variábeis con repetición, chégase aos polinomios simétricos homoxéneos completos).

Dada unha partición enteira (é dicir, unha secuencia finita non crecente de números enteiros positivos) $λ = (λ 1, ..., λ m)$ , defínese o polinomio simétrico $e λ (X 1, ..., X n)$ , tamén chamado polinomio simétrico elemental, por

e_{\lambda }(X_{1},\dots ,X_{n})=e_{\lambda _{1}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdot e_{\lambda _{2}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdots e_{\lambda _{m}}(X_{1},\dots ,X_{n})

.

Ás veces úsase a notación $σ k$ en lugar de $e k$ .

Exemplos

A continuación enuméranse os $n$ polinomios simétricos elementais para os catro primeiros valores positivos de $n$ .

Para $n = 1$ :

e_{1}(X_{1})=X_{1}.

Para $n = 2$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2},\\e_{2}(X_{1},X_{2})&=X_{1}X_{2}.\,\\\end{aligned}}

Para $n = 3$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}X_{3}.\,\\\end{aligned}}

Para $n = 4$ :

{\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{1}X_{4}+X_{2}X_{3}+X_{2}X_{4}+X_{3}X_{4},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4},\\e_{4}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}.\,\\\end{aligned}}

Propiedades

Os polinomios simétricos elementais aparecen cando expandimos unha factorización linear dun polinomio mónico: temos a identidade

\prod _{j=1}^{n}(\lambda -X_{j})=\lambda ^{n}-e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-1}+e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-2}+\cdots +(-1)^{n}e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}).

É dicir, cando substituímos valores numéricos polas variábeis $X 1, X 2, ..., X n$ , obtemos o polinomio mónico univariado (con variábel $λ$ ) cuxas raíces son os valores substituídos por $X 1, X 2, ..., X n$ e cuxos coeficientes son, ata o seu signo, os polinomios simétricos elementais. Estas relacións entre as raíces e os coeficientes dun polinomio chámanse fórmulas de Viète.

O polinomio característico dunha matriz cadrada é un exemplo de aplicación das fórmulas de Vieta. As raíces deste polinomio son os eigenvalores da matriz. Cando substituímos estes eigenvalores nos polinomios simétricos elementais, obtemos, ata o seu signo, os coeficientes do polinomio característico, que son invariantes da matriz. En particular, a traza (a suma dos elementos da diagonal) é o valor de $e 1$ e, polo tanto, a suma dos eigenvalores. Do mesmo xeito, o determinante é, ata o signo, o termo constante do polinomio característico, é dicir, o valor de $e n$ . Así, o determinante dunha matriz cadrada é o produto dos eigenvalores.

O conxunto de polinomios simétricos elementais en $n$ variábeis xera o anel de polinomios simétricos en $n$ variábeis. Máis concretamente, o anel de polinomios simétricos con coeficientes enteiros é igual ao anel polinómico de enteiros $\mathbb {Z}$ . (Consulte a continuación para unha definición máis xenérica.) Este feito é un dos fundamentos da teoría dos invariantes. Para outro sistema de polinomios simétricos coa mesma propiedade consulte Polinomios simétricos homoxéneos completos, e para un sistema cunha propiedade similar, pero lixeiramente máis débil, consulte Polinomio simétrico de suma de potencias.

Teorema fundamental dos polinomios simétricos

Para calquera anel conmutativo $A$ , denote o anel de polinomios simétricos nas variábeis $X 1, ..., X n$ con coeficientes en $A$ como $A [X 1, ..., X n] S n$ . Este é un anel polinómico nos n polinomios elementais simétricos $e k (X 1, ..., X n)$ para $k = 1, ..., n$ .

Isto significa que todo polinomio simétrico $P (X 1, ..., X n) \in A [X 1, ..., X n] S n$ ten unha representación única

P(X_{1},\ldots ,X_{n})=Q{\big (}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}){\big )}

para algún polinomio $Q \in A [Y 1, ..., Y n]$ . Outra forma de dicir o mesmo é que o homomorfismo de aneis que envía $Y k$ a $e k (X 1, ..., X n)$ para $k = 1, ..., n$ define un isomorfismo entre $A [Y 1, ..., Y n]$ e $A [X 1, ..., X n] S n$ .

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Macdonald, I. G. (1995). Symmetric Functions and Hall Polynomials (2nd ed.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0.
Stanley, Richard P. (1999). Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1.

Outros artigos

Ligazóns externas

Trifonov, Martin (5 March 2024). "Prelude to Galois Theory: Exploring Symmetric Polynomials" (Video). YouTube. Consultado o 2024-03-26.