Proporcionalidade (matemáticas)

Variábeis proporcionais relacionadas por unha función linear.

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Proporcionalidade (homónimos).

A proporcionalidade é unha relación entre magnitudes. É un dos escasos conceptos matemáticos amplamente difundidos entre a poboación debido a que é en boa medida unha noción intuitiva e de uso moi común.

Dúas funcións $f(x)$ e $g(x)$ son proporcionais se a súa proporción ${\textstyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$ é unha función constante $k$.

Se varios pares de variábeis comparten a mesma constante de proporcionalidade directa, a ecuación que expresa a igualdade destas razóns chámase proporción, a/b = x/y = ⋯ = k (para outros detalles véxase Ratio).

A proporcionalidade está moi relacionada coa linearidade.

Se temos dúas variábeis relacionadas $x$ e $y$:

• A proporcionalidade directa dáse cando un incremento na variábel $x$ produce un incremento na variábel $y$. Logo $x$ e $y$ son directamente proporcionais.
• A proporcionalidade inversa dáse cando un incremento na variábel $x$ produce unha diminución na variábel $y$. Logo $x$ e $y$ son inversamente proporcionais.

O factor constante de proporcionalidade pode utilizarse para expresar as relacións entre as magnitudes.

Símbolo

O símbolo matemático '∝' utilízase para indicar que dous valores son proporcionais. Por exemplo, A ∝ B.

En Unicode este é o símbolo: U+221D.

Proporcionalidade directa

Dada unha variábel independente $x$ e unha variable dependente $y$, temos que $y$ é directamente proporcional a '$x$ se hai unha constante positiva $k$ tal que:

$y=kx$.

A $k$ pode chamarlle constante de proporcionalidade.

Exemplo

A receita dunha torta de vainilla indica que para catro persoas necesítanse 200 g de fariña, 150 g de manteiga, catro ovos e 120 g de azucre vainillado. Como adaptar a receita para cinco persoas?

Segundo varios estudos, a maioría da xente calcularía as cantidades para unha persoa (dividindo entre catro) e logo as multiplicaría polo número real de persoas, cinco; outras só lle sumarían o que a unha persoa lle corresponde. Unha minoría non sente a necesidade de pasar polas cantidades unitarias (é dicir, por persoa) e multiplicaría os números da receita por 5/4 = 1,25 (o que equivale a engadir cinco ovos, 250 g de fariña, 187,5 g de manteiga e 150 g de azucre), e a torta terá o mesmo sabor que a outra, se o cociñeiro afeccionado é tan bo como o chef que escribiu a receita.

Dise que a cantidade de cada ingrediente é proporcional ao número de persoas (ou directamente proporcional), e se representa esta situación mediante unha táboa de proporcionalidade: coeficiente k non nulo (${\tfrac {5}{4}}$ no exemplo) tal que

$y_{1}=k\cdot x_{1},y_{2}=k\cdot x_{2}\quad ...\quad y_{n}=k\cdot x_{n}.$

Se consideramos $x_{1},x_{2}...x_{n}\$ e $y_{1},y_{2}...y_{n}\$ como valores de variábeis $x$ e $y$, entón dise que estas variábeis son proporcionais; a igualdade y = k·x significa que y é unha función lineal de x.

A representación gráfica desta función é unha recta que pasa pola orixe do sistema de coordenadas. Unha variación (incremento ou decremento) de $x$ dá lugar a unha variación proporcional de $y$ (e reciprocamente, posto que $k\neq 0:y={\tfrac {1}{k}}\cdot x)$:

$\Delta y=k\cdot \Delta x\$

Son as funcións máis sinxelas que existen e as primeiras que se estudan na clase de matemáticas, con alumnos de trece anos aproximadamente.

A relación "Ser proporcional a" é

• reflexiva (toda variábel es proporcional a si mesma, co coeficiente 1)
• simétrica (cando y é proporcional a x entón x o é a y, co coeficiente inverso) e
• transitiva (se x é proporcional a y, e y a z, entón x o é con z, multiplicando os coeficientes)

polo que se trata dunha relación de equivalencia. En particular dúas variábeis proporcionais a unha terceira serán proporcionais entre si).

A táboa do primeiro exemplo pódese descompoñer en tres de formato dous por dous:

Exemplo proporcionalidade directa

por tanto as propiedades da proporcionalidade ilústranse preferentemente con táboas de catro cuadrículas.

Tres maneiras de ver a proporcionalidade.

Unha proporción está formada polos números $a,b,c,d$, se a razón entre $a$ e $b$ é a mesma que entre $c$ e $d$.

Unha proporción está formada por dúas razóns iguais: $a:b=c:d$, onde $a,b,c,d$ son distintos de cero e lese $a$ é a $b$ como $c$ é a $d$.

Na proporción hai catro termos; $a$ e $d$ denomínase extremos; $c$ e $b$ chámanse medios. En toda proporción o produto dos extremos é igual ao produto dos medios.

Para establecer que unha táboa é proporcional, pódese:

1. verificar que a segunda columna é múltiplo da primeira, (primeira táboa: para pasar do primeiro cadro ao segundo, hai que multiplicar por $b \over a$; na segunda liña tense que multiplicar por $d \over c$, logo estas fraccións deben ser iguais para obter columnas proporcionais)
2. verificar que a segunda liña é múltiplo da primeira (segunda táboa, cun razoamento parecido) ou
3. verificar a igualdade dos produtos cruzados: $a\cdot d=b\cdot c$. (terceira táboa: as igualdades anteriores equivalen a $a\cdot d=b\cdot c$, cando non hai valores nulos, que por certo non teñen un grande interese neste contexto).

Proporción múltipla: Unha serie de razóns está formada por tres ou máis razóns iguais: $a:b=c:d=e:f$

Exemplo múltiple

Dous albaneis constrúen un muro de doce metros de superficie en tres horas; que superficie construirán cinco albaneis en catro horas?

Hai dous parámetros que inflúen na superficie construída: o número de albaneis e o tempo de traballo. Non hai que resistir a tentación de aplicar dúas veces a proporcionalidade pero, iso si, explicitando as hipóteses subxacentes.

Afirmar que o traballo realizado é proporcional ao número de albaneis equivale a dicir que todos os obreiros teñen a mesma eficacia no traballo (son intercambiábeis); e afirmar que a superficie á proporcional ao tempo de traballo supón que o rendemento non cambia co tempo: os albaneis non se cansan.

Proporcionalidade múltipla.

Admitindo estas dúas hipóteses, pódese contestar á pregunta pasando por unha etapa intermedia: que superficie construirían dous albaneis en catro horas?

O parámetro "número de albaneis" ten un valor fixo, logo aplicamos a proporcionalidade co tempo (subtáboa vermella). A superficie construída será multiplicada por $4 \over 3$. Logo, fixando o parámetro tempo en catro horas, e variando o número de obreiros de 2 a 5, a superficie se multiplicará por $5 \over 2$ (a subtáboa azul é proporcional).

O resultado final é

$12\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{2}}=40$

metros cadrados.

A proporcionalidade múltipla resólvese así, multiplicando polos coeficientes correspondentes a cada factor:

Caso xeral da proporcionalidade múltipla.

Proporcionalidade inversa

Proporcionalidade inversa con produto x y = 1.

Dúas variábeis son inversamente proporcionais (ou están en proporción inversa)se cada unha das variábeis é directamente proporcional ao inverso multiplicativo (recíproco) da outra, ou de forma equivalente se o seu produto é unha constante.

Por tanto $y$ é inversamente proporcional a $x$ se existe unha constante $k$ distinta de $0$ tal que

$y={\frac {k}{x}}$

ou equivalentemente, $xy=k$. Daí a constante $k$ é o produto de $x$ e $y$.

Exemplo

Dous autos percorren exactamente o mesmo camiño. O primeiro tardou dúas horas e media en chegar ao destino, rodando a unha velocidade media de 70 km/h. O segundo roda a 100 km/h. Canto tempo tardará en chegar?

Canto maior sexa a velocidade, menor tempo durará a viaxe. Se multiplicamos por dous a velocidade, a duración da viaxe se dividirá por dous. Aquí, claramente o tempo do percorrido non é proporcional á velocidade senón xustamente o contrario: é inversamente proporcional, é dicir, proporcional á inversa da velocidade. Isto permite responder á pregunta:

Exemplo de proporcionalidade inversa.

cambiando unha multiplicación por unha división (primeira táboa) ou aplicando a proporcionalidade coa inversa da velocidade (segunda táboa).

O tempo será $2,5\times {\frac {7}{10}}=1,75$, é dicir, unha hora e 45 minutos.

Máis xeralmente, se unha variábel y é inversamente proporcional a outra variábel x, pódese aplicar a proporcionalidade con ${\tfrac {1}{x}}$.

É dicir, que o produto dos valores correspondentes (aquí na mesma liña) é constante. No exemplo: $70\times 2,5=100\times 1,75=175km$, que é a lonxitude do percorrido.

Podemos dicir que velocidade e tempo son inversamente proporcionais, a máis velocidade menos tempo.

Táboa de variación proporcional

Unha táboa de variación proporcional é aquela que segue unha secuencia utilizando de base o prezo dalgún obxecto ou outra cousa que poida aumentar ou diminuír certo número ou obxecto de forma proporcional.

Exemplo:

nº de bólas / prezo

2 bólas / 50 céntimos

4 bólas / 1 euro

6 bólas / 1,50 euros

Magnitudes directamente proporcionais

Dúas magnitudes son directamente proporcionais cando ao multiplicar ou dividir unha delas por un número, a outra queda multiplicada ou dividida respectivamente polo mesmo número.

Exemplo:

Un automóbil consome 10 litros de gasolina por cada 120 km de percorrido. Cantos quilómetros percorre con 30 litros?

Observamos que as magnitudes son directas. Se a razón ou cociente entre elas é un valor constante. Cos datos da táboa, achamos a razón.

Elaboramos unha táboa de proporcionalidade:

Gasolina 10 1 10 20 40

(litros)

Percorrido 120 12 240 480

(quilómetros)

Con 20 litros de gasolina, o coche percorre 240 quilómetros: cantos máis quilómetros se percorran, máis litros de gasolina se consumirán. O número de quilómetros percorridos é directamente proporcional (D.P.) ao número de litros de gasolina, sempre que as demais condicións se manteñan constantes, isto é, que non se modificaran as condicións climáticas ou xeográficas que modificaran o consumo. Polo tanto, con 30 litros de gasolina o coche percorrerá 360 quilómetros.

Aplicación en xeometría

O concepto de proporcionalidade é equivalente ao de semellanza cando se comparan dous triángulos semellantes. De feito, as propiedades da proporcionalidade (reflexividade, simetría e transitividade) son as mesmas que as da semellanza.

Proporcionalidade nas ciencias

A proporcionalidade en ciencias é unha relación matemática que se define como unha correspondencia unívoca entre magnitudes medidas. Alén das matemáticas, a proporcionalidade é fundamental en moitas outras disciplinas científicas para describir relacións consistentes e previsíbeis entre variábeis.

En física

En física, a proporcionalidade xoga un papel crucial en leis como a de Hooke para resortes, onde a forza é directamente proporcional á extensión, e na Lei de Ohm, onde a corrente é directamente proporcional á tensión aplicada e inversamente proporcional á resistencia.

En química

En química, a lei das proporcións constantes indica que en compostos químicos definidos, as proporcións en masa dos elementos son constantes, independentemente da orixe da mostra ou do método de preparación.

En bioloxía

Na bioloxía, a proporcionalidade pode observarse nos ritmos metabólicos, onde cambios na masa corporal teñen efectos proporcionais na taxa metabólica.

Véxase tamén

Outros artigos

• Eudoxo de Cnido
• Número áureo
• Triángulo
• Proporción
• Proporción (arquitectura)
• Escala (cartografía)
• Razón (matemáticas)

Ligazóns externas

• Proporcionalidade [1] edu.xunta.gal
• Wolfram MathWorld (en inglés).
• Teoria da Proporcionalidade: a famosa "Regra de Três" - Mundo da Matemática