Rango (función)

$f$ é unha función do dominio X ao codominio Y. O óvalo amarelo dentro de Y é a imaxe de $f$. Ás veces "rango" refírese á imaxe e ás veces ao codominio.

En matemáticas, o rango dunha función pode referirse a calquera dos dous conceptos estreitamente relacionados:

• o codominio da función, ou
• a imaxe da función.

Nalgúns casos o codominio e a imaxe dunha función son o mesmo conxunto; tal función chámase sobrexectiva ou onto. Para calquera función non sobrexectiva $f:X\to Y,$ o codominio $Y$ e a imaxe ${\tilde {Y}}$ son diferentes; non obstante, pódese definir unha nova función coa imaxe da función orixinal como o seu codominio, ${\tilde {f}}:X\to {\tilde {Y}}$ onde ${\tilde {f}}(x)=f(x).$ Esta nova función é sobrexectiva.

Definicións

Dados dous conxuntos X e Y, unha relación binaria f entre X e Y é unha función (de X a Y ) se para cada elemento x en X hai exactamente un y en Y tal que f relaciona x con y. Os conxuntos X e Y chámanse dominio e codominio de f, respectivamente. A imaxe da función f é o subconxunto de Y composto só por aqueles elementos y de Y tal que hai polo menos un x en X con f(x) = y.

Elaboración e exemplo

Dada unha función

$f\colon X\to Y$

con dominio $X$, o rango de $f$, ás veces denotado $\operatorname {ran} (f)$ ou $\operatorname {Range} (f)$, pode referirse ao codominio ou ao conxunto de destinos $Y$ (é dicir, o conxunto no que toda saída de $f$ está obrigada a chegar), ou a $f(X)$, a imaxe do dominio de $f$ baixo $f$ (é dicir, o subconxunto de $Y$ composto por todas as saídas dadas de $f$). A imaxe dunha función é sempre un subconxunto do codominio da función.

Como exemplo dos dous usos diferentes, considere a función $f(x)=x^{2}$ como se usa na análise real (é dicir, como función que introduce un número real e saca o seu cadrado). Neste caso, o seu codominio é o conxunto de números reais $\mathbb {R}$, mais a súa imaxe é sómente o conxunto de números reais non negativos $\mathbb {R} ^{+}$, xa que $x^{2}$ nunca é negativo se $x$ é real. Para esta función, se usamos "rango" para significar codominio, refírese a $\mathbb {\displaystyle \mathbb {R} ^{}}$; se usamos "rango" para significar imaxe, refírese a $\mathbb {R} ^{+}$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Childs, Lindsay N. (2009). Childs, Lindsay N., ed. A Concrete Introduction to Higher Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-74527-5. OCLC 173498962. doi:10.1007/978-0-387-74725-5. 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. OCLC 52559229. 
• Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. Graduate Texts in Mathematics 73. Springer. ISBN 0-387-90518-9. OCLC 703268. doi:10.1007/978-1-4612-6101-8. 
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 0-07-054236-8. 

Outros artigos

• Bixección, inxección e sobrexección.