Regresión (xeometría diferencial)

Sexa $\phi :M\to N$ un mapa suave entre variedades suaves $M$ e $N$. Daquela hai unha aplicación linear asociada a partir do espazo das 1-formas $N$ (o espazo linear das seccións do fibrado cotanxente) no espazo das 1-formas en $M$. Este mapa linear coñécese como regresión ou pullback (mediante $\phi$), e denótase frecuentemente por $\phi ^{*}$. De forma máis xeral, calquera campo tensor covariante, en particular calquera forma diferencial, en $N$ pode ser retrocedido a $M$ usando $\phi$ .

Regresións de funcións suaves e mapas suaves

Sexa $\phi :M\to N$ un mapa suave entre variedades (suaves), $M$ e $N$, e supoñamos que $f:N\to \mathbb {R}$ é unha función suave en $N$. Daquela a regresión de $f$ por $\phi$ é a función suave $\phi ^{*}f$ en $M$ definida por $(\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))$. Do mesmo xeito, se $f$ é unha función suave nun conxunto aberto $U$ en $N$, entón a mesma fórmula define unha función suave no conxunto aberto $\phi ^{-1}(U)$. (Na linguaxe de feixes, unha regresión define un morfismo a partir do feixe de funcións suaves $N$ na imaxe directa por $\phi$ do feixe de funcións suaves sobre $M$.)

De xeito máis xeral, se $f:N\to A$ é un mapa suave de $N$ en calquera outra variedade $A$, daquela $(\phi ^{*}f)(x)=f(\phi (x))$ é un mapa suave de $M$ en $A$.

Regresión de fibrados e seccións

Se $E$ é un fibrado vectorial (ou realmente calquera fibrado) sobre $N$ e $\phi :M\to N$ é un mapa suave, daquela a fibrado de regresión $\phi ^{*}E$ é un fibrado vectorial (ou fibrado) sobre $M$ cuxa fibra sobre $x$ en $M$ está dada por $(\phi ^{*}E)_{x}=E_{\phi (x)}$.

Regresión de formas multilineares

Sexa Φ: V → W unha aplicación linear entre espazos vectoriais V e W (é dicir, Φ é un elemento de L(V, W), tamén denotado Hom(V, W)), e sexa

$$F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbf {R}$$

unha forma multilinear en W (tamén coñecida como tensor, que non debe confundirse cun campo tensor, de rango (0, s), onde s é o número de factores de W no produto). Entón a regresión Φ^∗F de F por Φ é unha forma multilinear en V definida precompoñendo F con Φ. Máis precisamente, dados os vectores v₁, v₂, ..., v_s en V, Φ^∗F defínese pola fórmula

$$(\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),$$

que é unha forma multilinear en V. Polo tanto, Φ^∗ é un operador (linear) desde formas multilineares en W ata formas multilineares en V. Como caso especial, teña en conta que se F é unha forma linear (ou (0,1)-tensor) en W, de xeito que F é un elemento de W ^∗, o espazo dual de W, entón Φ^∗F é un elemento de V^∗, polo que a regresión por Φ define un mapa linear entre espazos duais que actúa na dirección oposta ao propio mapa linear Φ:

$$\Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.$$

Desde o punto de vista tensorial, é natural tentar estender a noción de regresión a tensores de rango arbitrario, é dicir, a mapas multilineares en W tomando valores nun produto tensor de r copias de W, é dicir, W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. Porén, os elementos deste produto tensor non regresan de forma natural. Mais hai unha operación de pulo de V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V a W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W dado por

$$\Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}).$$

No entanto, disto dedúcese que se Φ é invertíbel, a regresión pódese definir usando un pulo mediante a función inversa Φ⁻¹. A combinación destas dúas construcións produce unha operación de pulo, ao longo dun mapa linear invertíbel, para tensores de calquera rango (r, s).

Regresión de vectores cotanxentes e 1-formas

Sexa $\phi :M\to N$ un mapa suave entre variedades suaves. Entón o diferencial de $\phi$, escrito $\phi _{*}$, $d\phi$ ou $D\phi$, é un morfismo de fibrado vectorial (sobre $M$) do feixe tanxente $TM$ de $M$ na regresión do fibrado $\phi ^{*}TN$. A transposición de $\phi _{*}$ é polo tanto un mapa de fibrados de $\phi ^{*}T^{*}N$ en $T^{*}M$, o fibrado cotanxente de $M$.

Supoña agora que $\alpha$ é unha sección de $T^{*}N$ (unha 1-forma en $N$), e precompón $\alpha$ con $\phi$ para obter unha sección de regresión de $\phi ^{*}T^{*}N$. Ao aplicar o mapa do fibrado anterior (por puntos) a esta sección obtemos a regresión de $\alpha$ por $\phi$, que é a 1-forma $\phi ^{*}\alpha$ en $M$ definida por $$(\phi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X))$$ para $x$ en $M$ e $X$ en $T_{x}M$.

Regresión de campos tensoriais (covariantes).

A construción da sección anterior xeneralízase inmediatamente para un fibrado de tensores de rango $(0,s)$, para calquera número natural $s$: a $(0,s)$ campo tensor nunha variedade $N$ é unha sección do fibrado tensor en $N$ cuxa fibra en $y$ en $N$ é o espazo das $s$ -formas multilineares $$F:T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .$$ Tomando $\phi$ igual ao diferencial dun mapa suave $\phi$ de $M$ en $N$, a regresión de formas multilineares pódese combinar coa regresión de seccións para producir un campo tensor $(0,s)$ en $M$. Máis precisamente, se $S$ é un campo tensor $(0,s)$ en $N$, daquela o pullback de $S$ mediante $\phi$ é o $(0,s)$-campo tensor $\phi ^{*}S$ en $M$ definido por $$(\phi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{s}))$$ para $x$ en $M$ e $X_{j}$ en $T_{x}M$.

Regresión de formas diferenciais

Un caso particular e importante da regresión de campos tensoriais covariantes é a regresión de formas diferenciais. Se $\alpha$ é unha $k$-forma diferencial, é dicir, unha sección do fibrado exterior $\Lambda ^{k}(T^{*}N)$ de formas $k$ alternadas (en fibras) en $TN$, entón o retroceso de $\alpha$ é a $k$-forma diferencial en $M$ definida pola mesma fórmula que na sección anterior: $$(\phi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\phi (x)}(d\phi _{x}(X_{1}),\ldots ,d\phi _{x}(X_{k}))$$ para $x$ en $M$ e $X_{j}$ en $T_{x}M$.

A regresión das formas diferenciais ten dúas propiedades que a fan moi útil.

1. É compatíbel co produto exterior no sentido de que para as formas diferenciais $\alpha$ e $\beta$ en $N$, $$\phi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\phi ^{*}\alpha \wedge \phi ^{*}\beta ,$$
2. É compatible coa derivada exterior $d$: se $\alpha$ é unha forma diferencial en $N$ entón $\phi ^{*}(d\alpha )=d(\phi ^{*}\alpha ).$

Regresión por difeomorfismos

Cando o mapa $\phi$ entre variedades é un difeomorfismo, é dicir, ten unha inversa suave, entón pódese definir a regresión para os campos vectoriais así como para 1-formas, e así, por extensión, para un campo tensor mixto arbitrario na variedade. O mapa linear $$\Phi =d\phi _{x}\in \operatorname {GL} \left(T_{x}M,T_{\phi (x)}N\right)$$ pódese invertir para dar $$\Phi ^{-1}=\left({d\phi _{x}}\right)^{-1}\in \operatorname {GL} \left(T_{\phi (x)}N,T_{x}M\right).$$

Un campo tensor mixto xeral transformarase usando $\Phi$ e $\Phi ^{-1}$ segundo o produto tensor descomposición do fibrado tensor en copias de $TN$ e $T^{*}N$. Cando $M=N$, entón o pullback e o pushforward describen as propiedades de transformación dun tensor na variedade $M$. En termos tradicionais, a regresión describe as propiedades de transformación dos índices covariantes dun tensor; pola contra, a transformación dos índices contravariantes vén dada por un pulo.

Regresión por automorfismos

A construción da sección anterior ten unha interpretación teórica da representación cando $\phi$ é un difeomorfismo dunha variedade $M$ en si mesma. Nese caso, a derivada $d\phi$ é unha sección de $\operatorname {GM} (TM,\phi ^{*}TM)$. Isto induce unha acción de regresión en seccións de calquera fibrado asociado ao fibrado de marcas $\operatorname {GM} (m)$ de $M$ mediante unha representación do grupo linear xeral $\operatorname {GM} (m)$ (onde $m=\dim M$).

Regresión e derivada de Lie

Ver derivada de Lie. Aplicando as ideas anteriores ao grupo local difeomorfismos de 1-parámetro definido por un campo vectorial en M, e diferenciando con respecto ao parámetro, obtense unha noción de derivada de Lie en calquera feixe asociado.

Regresión de conexións (derivadas covariantes)

Se $\nabla$ é unha conexión (ou derivada covariante) nun fibrado vectorial $E$ sobre $N$ e $\phi$ é un mapa suave de $M$ en $N$, daquela hai unha conexión de regresión $\phi ^{*}\nabla$ en $\phi ^{*}E$ sobre $M$, determinado exclusivamente pola condición de que $$\left(\phi ^{*}\nabla \right)_{X}\left(\phi ^{*}s\right)=\phi ^{*}\left(\nabla _{d\phi (X)}s\right).$$

Véxase tamén

Bibliografía

• Jost, Jürgen (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2.  See sections 1.5 and 1.6.
• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.  See section 1.7 and 2.3.

Outros artigos

• Pulo (diferencial)
• Pulo de fibrado
• Regresión (teoría das categorías)