Teoría analítica de números

No ámbito das matemáticas, a teoría analítica de números é unha rama da teoría de números que utiliza métodos da análise matemática para resolver problemas sobre os números enteiros. A miúdo dise que comezou coa introdución de Dirichlet das funcións L de Dirichlet para presentar a primeira demostración do teorema de Dirichlet sobre as progresións aritméticas. Outro fito importante neste tema é o teorema dos números primos.

A teoría analítica de números pódese dividir en dúas partes principais, que se asocian máis ao tipo de problemas que tentan resolver que a diferenzas fundamentais nas súas técnicas:

• A teoría multiplicativa de números trata sobre a distribución dos números primos, por exemplo estimar a cantidade de números primos que se presentan nun intervalo, e inclúe o teorema dos números primos e o teorema de Dirichlet sobre os primos nas progresións aritméticas.
• A teoría aditiva de números trata sobre a estrutura aditiva dos enteiros, tales como a conxectura de Goldbach que establece que todo número par maior que dous é a suma de dous primos. Uns dos resultados importantes da teoría aditiva de números é a solución do problema de Waring.

Os desenvolvementos na teoría analítica de números adoitan ser refinamentos de técnicas existentes, que reducen os termos de erro e amplían a súa aplicabilidade. Por exemplo, o método do círculo de Hardy e Littlewood que foi desenvolvido para aplicalo a unha serie de potencias preto do círculo unitario no plano complexo; actualmente concíbese como función de sumas exponenciais finitas (dentro do círculo unitario, pero coas series de potencias truncadas). As necesidades da aproximación diofantiana de funcións auxiliares que non son funcións xeratrices – os seus coeficientes obtéñense empregando o principio do pombal (ou de Dirichlet)– e comprende varias variables complexas.

Os campos da aproximación diofantiana e a teoría transcendente estendéronse, ao momento que as técnicas se aplicaron á conxectura de Mordell.

O maior cambio a nivel técnico posterior a 1950 foi o desenvolvemento dos métodos de cribado como ferramenta, particularmente útil en problemas multiplicativos. Estes son de natureza combinatoria, e sumamente variados. A rama extrema da teoría combinatoria foi á súa vez moi influída polo valor dado á teoría analítica de números para establecer cotas superiores e inferiores. Outro desenvolvemento recente é a teoría probabilística de números, que utiliza ferramentas da teoría da probabilidade para estimar a distribución de funcións teóricas de números, tales como cantos divisores primos posúe un número.

Un dos desenvolvementos recentes neste campo é a demostración de Green e Tao sobre a existencia de progresións aritméticas arbitrariamente longas nos primos.

Problemas e resultados na teoría analítica de números

Os teoremas e resultados máis importantes da teoría analítica de números non adoitan ser resultados estruturais exactos sobre os enteiros, para os cales as ferramentas alxébricas e xeométricas son máis apropiadas. En cambio, os mesmos son sumamente bos para prover cotas aproximadas e estimadas de varias funcións da teoría de números, tal como se ilustra nos seguintes exemplos.

Teoría multiplicativa de números

O teorema dos números primos é probablemente un dos resultados máis famosos e interesantes da teoría analítica de números. Euclides demostrou que existe un número infinito de primos, pero resulta moi difícil atopar un método eficiente para determinar se un número é primo ou non, especialmente no caso de números primos moi grandes. Un problema relacionado aínda que máis simple é determinar a distribución asintótica dos números primos; ou sexa, unha descrición grosa de cantos primos é de esperar que existan menores que un certo número. Gauss, logo de identificar unha longa lista de primos, conxecturou que o número de primos menores ou iguais que un número N grande é moi próximo ao valor da seguinte integral

$\,\int _{2}^{N}{\frac {1}{\log(t)}}\,dt.$

En 1859 Bernhard Riemann utilizou a análise complexa e unha función especial meromorfa actualmente coñecida como función zeta de Riemann para obter unha expresión analítica para os números primos menores ou iguais que un número real x. En forma notable, o termo principal da fórmula de Riemann era exactamente a integral indicada previamente, o cal contribuíu a aumentar a sospeita sobre a validez da conxectura de Gauss. Riemann descubriu que os termos de erro nesta expresión e, polo tanto a forma en que os primos se atopan distribuídos, están estreitamente relacionados cos ceros complexos da función zeta. Utilizando as ideas de Riemann e obtendo información adicional sobre os ceros da función zeta, Jacques Hadamard e Charles Jean da Vallée-Poussin tiveron éxito en completar a demostración da conxectura de Gauss. En particular, demostraron que se π(x) = { número de primos ≤ x } entón

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.$

Este resultado notable é o que actualmente se coñece como o teorema dos números primos. En termos simples, o mesmo establece que dado un número N grande, o número de primos menores ou iguais a N é aproximadamente N/log(N).

Dunha maneira máis xeral, pódese formular a mesma pregunta sobre a cantidade de números primos en calquera progresión aritmética a+nq para calquera enteiro n. Na que foi unha das primeiras aplicacións das técnicas analíticas á teoría de números, Dirichlet demostrou que toda progresión aritmética con a e q coprimos contén un número infinito de primos. O teorema dos números primos pode xeneralizarse para este problema; se π(x,a,q) = { número de primos ≤ x tal que p se atopa na progresión aritmética a+nq}, entón se a e q son coprimos,

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x,a,q)\phi (q)}{x/\log x}}=1.$

Tamén existe unha gran cantidade de conxecturas complexas e amplas na teoría de números cuxas demostracións parecerían ser demasiado difíciles para as técnicas dispoñibles actualmente, tal como a conxectura dos primos xemelgos que se pregunta se existe un número infinito de primos p tales que p+2 é primo. Supondo a validez da conxectura de Elliott-Halberstam demostrouse por Daniel Goldston, János Pintz e Cem Eıldırım que existe un número infinito de primos p tales que p+k é primo para un número par positivo k menor que 16.

Teoría aditiva de números

Un dos problemas máis importantes na teoría aditiva de números é o problema de Waring, que pregunta se é posible, para calquera k ≥ 2, escribir calquera número enteiro positivo como a suma dun número limitado das potencias k-ésimas,

$n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell }^{k}.\,$

O caso dos cadrados, k = 2, resolveuno Lagrange en 1770, que demostrou que todo número enteiro positivo é a suma de como máximo catro cadrados. O caso xeral demostrouno Hilbert en 1909, utilizando técnicas alxébricas que non brindaron cotas explícitas. Un avance moi importante foi o uso de técnicas analíticas para atacar o problema que desenvolveron Hardy e Littlewood. Estas técnicas son o denominado método do círculo, e dá cotas superiores explícitas da función G(k), o menor número de potencias k-ésimas necesarias, tal como a cota de Vinogradov

$G(k)\leq k(3\log k+11).\,$

Problemas diofantianos

Os problemas diofantianos tratan sobre as solucións enteiras de ecuacións polinómicas, e especialmente cantas solucións é esperable atopar dentro dun certo intervalo.

Un dos exemplos máis importantes é o problema do círculo de Gauss, que busca puntos enteiros do tipo (x,y) que satisfán

$x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.$

En termos xeométricos, dado un círculo centrado na orixe no plano de raio r, o problema pregúntase cantos puntos dunha retícula con vértices que sexan números enteiros atópanse sobre ou dentro do círculo. Non é difícil demostrar que a resposta é $\,\pi r^{2}+E(r)\,$, onde $\,E(r)/r^{2}\,\to 0\,$ cando $\,r\to \infty \,$. Novamente, a parte difícil e o gran logro da teoría analítica de números é obter cotas superiores específicas do termo erro E(r).

Gauss demostrou que $E(r)=O(r)$. En xeral, un termo erro do tipo O(r) é posible co círculo unitario (ou, máis apropiadamente, o disco unitario pechado) substituído por dilacións de calquera rexión plana limitada cunha fronteira suave da anacos. Máis aínda, se se substitúe o círculo unitario polo cadrado unitario, o termo erro do problema xeral pode ser tan grande como unha función linear de r. Polo tanto unha cota do erro do tipo $O(r^{\delta })$ para algún $\delta <1$ no caso do círculo é unha mellora considerable. Sierpiński en 1906 foi o primeiro que chegou a este resultado, e demostrou que $E(r)=O(r^{2/3})$. En 1915, Hardy eLandau demostraron (cada un de forma independente) que non se ten $E(r)=O(r^{1/2})$. Dende entón o obxectivo foi demostrar que para cada $\epsilon >0$ fixo existe un número real $C(\epsilon )$ tal que $E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }$.

No 2000 Huxley demostrou que $E(r)=O(r^{131/208})$, o cal é o mellor resultado que foi publicado.

Métodos da teoría analítica de números

Series de Dirichlet

Unha das ferramentas máis poderosas da teoría multiplicativa de números son as series de Dirichlet, que son funcións dunha variable complexa definidas por unha serie infinita:

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}.$

Dependendo do valor dos coeficientes $a_{n}$, esta serie pode converxer en todo o dominio, en ningún punto, ou nunha porción do plano. En moitos casos, aínda cando a serie non converxe en ningún punto, a función holomorfa que define pode ser estendida analiticamente a unha función meromorfa en todo o plano complexo. A utilidade de funcións como esta nos problemas multiplicativos pódese comprender a partir da seguinte identidade formal

$\left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s};$

polo tanto, os coeficientes do produto de dúas series de Dirichlet series con convolucións multiplicativas dos coeficientes orixinais.

Máis aínda, pódense utilizar técnicas tales como as sumas parciais e os teoremas tauberianos para obter información sobre os coeficientes a partir de información analítica sobre as series de Dirichlet. Polo tanto un método usual para estimar unha función multiplicativa é expresala como unha serie de Dirichlet (ou un produto de series de Dirichlet máis simples utilizando identidades de convolución), examinar esta serie como unha función complexa e logo converter esta información analítica en información sobre a función orixinal.

A función zeta de Riemann

Representación da función zeta de Riemann ζ(s) no plano complexo. A cor en cada punto s representa o valor de ζ(s): as cores fortes significan valores próximos a cero. O sector branco para s=1 é o polo da función zeta; os puntos negros na parte negativa do eixo real e sobre a liña crítica Re(s)=1/2 son os seus ceros. Os valores positivos reais son mostrados en cor vermella.

Euler descubriu que

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}{\text{ con }}s>1\,\,\ \,$

onde p é un número primo

Riemann analizou esta función para valores complexos de s e mostrou que esta función pode ser estendida a unha función meromorfa en todo o plano cun polo simple en s=1. Esta función denomínase función zeta de Riemann e represéntase como ζ(s). Existe abundante literatura sobre esta función e a función é un caso especial das funcións L de Dirichlet. O libro de Edwards, The Riemann Zeta Function é unha boa fonte para estudar a función xa que Edwards analiza en detalle o escrito orixinal de Riemann e utiliza técnicas básicas de primeiro e segundo ano da universidade. Para esta lectura é precisa unha comprensión básica da análise complexa e análise de Fourier.

Os estudosos teóricos da teoría dos números adoitan interesarse en coñeceren o erro das aproximacións tales como o teorema do número primo. Neste caso, o erro é menor que x/log x. A fórmula de Riemann para π(x) mostra que o termo erro nesta aproximación pode expresarse en función dos ceros da función zeta. No seu traballo datado en 1859, Riemann fixo a conxectura que todos os ceros "non-triviais" de ζ se atopan situados sobre a recta $\,\Re (s)=1/2\,$ pero nunca presentou unha demostración desta aseveración. Esta famosa e perdurable conxectura coñécese polo nome de hipótese de Riemann e ten numerosas implicacións de importancia na teoría dos números; en efecto, numerosos teoremas de relevancia demostráronse considerando o caso que a hipótese fose verdadeira. Por exemplo, de acordo coa hipótese de Riemann, o termo erro no teorema do número primo é $O(x^{1/2+\varepsilon })$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Nova York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3
• Davenport, Harold (2000). Multiplicative number theory. Graduate Texts in Mathematics 74 (3.ª revisada ed.). Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95097-6. Modelo:MathSciNet. 
• Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge studies in advanced mathematics 46. Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7. 
• Ayoub, Introduction to the Analytic Theory of Numbers
• H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I : Classical Theory
• H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic Number Theory.
• D. J. Newman, Analytic number theory, Springer, 1998
• Titchmarsh, Edward Charles (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function (2.ª ed.). Oxford University Press. 
• H. Halberstam and H. E. Richert, Sieve Methods
• R. C. Vaughan, The Hardy-Littlewood method, 2.ª edición