Teorema de Bombieri-Vinogradov

O teorema de Bombieri-Vinogradov é un resultado importante na teoría analítica dos números, obtido a mediados dos anos 60, relativo á distribución dos números primos en progresións aritméticas, promediadas nun rango de módulos. O primeiro resultado deste tipo foi obtido por Mark Barban en 1961 e o teorema de Bombieri-Vinogradov é un perfeccionamento do resultado de Barban. O teorema de Bombieri-Vinogradov recibe o seu nome de Enrico Bombieri e A.I. Vinogradov, , que publicaron nun tema relacionado, a hipótese da densidade, en 1965.

Este resultado é unha aplicación importante do método da criba grande, que se desenvolveu rapidamente a comezos da década de 1960, desde os seus inicios no traballo de Yuri Linnik dúas décadas antes. Ademais de Bombieri, Klaus Roth traballaba nesta área. A finais dos anos 60 e principios dos 70, Patrick X. Gallagher simplificou moitos dos ingredientes e estimacións clave.

Enunciado do teorema de Bombieri-Vinogradov

Sexan $x$ e $Q$ dous números reais positivos calquera tal que

$x^{1/2}\log ^{-A}x\leq Q\leq x^{1/2}.$

Daquela

$\sum _{q\leq Q}\max _{y\leq x}\max _{1\leq a\leq q \atop (a,q)=1}\left|\psi (y;q,a)-{y \over \varphi (q)}\right|=O\left(x^{1/2}Q(\log x)^{5}\right)\!.$

Aquí $\varphi (q)$ é a función totiente de Euler, que é o número de sumandos para o módulo q, e

$\psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\bmod {q}}}\Lambda (n),$

onde $\Lambda$ denota a función de von Mangoldt .

Unha descrición verbal deste resultado sería que dá un valor para o termo de erro no teorema dos números primos para progresións aritméticas, promediados sobre os módulos q ata Q. Para un certo rango de Q, que está ao redor de ${\sqrt {x}}$ se non consideramos os factores logarítmicos. O erro promediado é case tan pequeno como ${\sqrt {x}}$ . Isto non é obvio, e sen consedirar o promedio sería tan importante como a hipótese de Riemann xeneralizada (GRH).

Véxase tamén

Outros artigos

• Conxectura de Elliott-Halberstam
• Teorema de Vinogradov
• Teorema de Siegel-Walfisz

Ligazóns externas

• The Bombieri-Vinogradov Theorem, notas para ler de R.C. Vaughan.