Teorema de Kummer

En matemáticas, o teorema de Kummer é unha fórmula para calcular o expoñente da maior potencia dun número primo p que divide un coeficiente binomial dado. Noutras palabras, dá a valoración p-ádica dun coeficiente binomial. O teorema recibe o nome de Ernst Kummer, quen o demostrou nun artigo (Kummer 1852).

Teorema

O teorema de Kummer afirma que para os números enteiros dados n ≥ m ≥ 0 e un número primo p, a valoración p-ádica $\nu _{p}\!{\tbinom {n}{m}}$ do coeficiente binomial ${\tbinom {n}{m}}$ é igual ao número de carrexos cando se suma $m$ a $m-n$ en base p.

Unha forma equivalente do teorema é a seguinte:

Escribamos a expansión en base $p$ do número enteiro $n$ como $n=n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}$ , e definamos $S_{p}(n):=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}$ como a suma dos díxitos en base $p$ , entón

\nu _{p}\!{\binom {n}{m}}={\dfrac {S_{p}(m)+S_{p}(n-m)-S_{p}(n)}{p-1}}.

O teorema pódese demostrar escribindo ${\tbinom {n}{m}}$ como ${\tfrac {n!}{m!(n-m)!}}$ e usando a fórmula de Legendre.^[1]

Exemplos

Para calcular a maior potencia de 2 que divide o coeficiente binomial ${\tbinom {10}{3}}$ escribimos $m = 3$ e $n - m = 7$ na base $p = 2$ como $3 = 11 2$ e $7 = 111 2$ . Realizamos a suma $112 + 111 2 = 1010 2$ na base 2 require tres acarreos:

	₁	₁	₁
			1	1 ₂
+		1	1	1 ₂
	1	0	1	0 ₂

Polo tanto a maior potencia de 2 que divide ${\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15$ é 3.

Alternativamente, pódese usar a forma que inclúe sumas de díxitos. As sumas dos díxitos de 3, 7 e 10 na base 2 son $S_{2}(3)=1+1=2$ , $S_{2}(7)=1+1+1=3$ , e $S_{2}(10)=1+0+1+0=2$ respectivamente, daquela

\nu _{2}\!{\binom {10}{3}}={\dfrac {S_{2}(3)+S_{2}(7)-S_{2}(10)}{2-1}}={\dfrac {2+3-2}{2-1}}=3.

Xeneralización para coeficientes multinomiais

O teorema de Kummer pódese xeneralizar a coeficientes multinomiais ${\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}$ como segue: