Carrexo (aritmética)

En aritmética elemental, un carrexo é un díxito que se transfire dunha columna de díxitos a outra columna de díxitos máis significativos. Forma parte do algoritmo estándar de sumar números comezando polos díxitos máis á dereita e traballando cara á esquerda. Por exemplo, cando se engaden 6 e 7 para facer 13, o "3" escríbese na mesma columna e o "1" lévase á esquerda.

P carrexo fai algunhas aparicións tamén en matemáticas superiores. En informática, o carrexo é unha función importante dos circuítos sumadores.

Aritmética manual

Exemplo: a suma de dous números decimais

Un exemplo típico de carrexo é a seguinte adición con lapis e papel:

  1 
  27
+ 59
----
  86

7 + 9 = 16, e o díxito 1 é o carrexo.

Matemáticas superiores

O teorema de Kummer afirma que o número de carrexos implicados na suma de dous números na base $p$ é igual ao expoñente da potencia máis alta de $p$ dividindo un determinado coeficiente binomial.

Cando se engaden varios números aleatorios de moitos díxitos, as estatísticas dos díxitos de carrexo teñen unha conexión inesperada cos números eulerianos e as estatísticas das permutacións de números barallados .^[1] ^[2] ^[3] ^[4]

Na álxebra abstracta, a operación de carrexo para números de dous díxitos pódese formalizar usando a linguaxe da cohomoloxía de grupos.^[5] ^[6] ^[7] Este punto de vista pódese aplicar a caracterizacións alternativas dos números reais.^[8] ^[9]

Informática

Cando se fala dun circuíto dixital como un sumador, a palabra carrexar úsase nun sentido semellante.

Na maioría dos ordenadores, o carrexo do bit máis significativo dunha operación aritmética (ou o bit desprazado dunha operación de desprazamento) colócase nun bit de carrexo especial que se pode usar como carrexo para aritmética de precisión múltiple ou usado para controlar a execución dun programa informático. O mesmo bit de carrexo tamén se usa xeralmente para indicar carrexos na resta, aínda que o significado do bit está invertido debido aos efectos da aritmética do complemento a dous. Normalmente, un valor de bit de carrexo de "1" significa que unha adición desbordou (overflow) a ALU e debe terse en conta cando se engaden palabras de datos de lonxitudes superiores á da CPU..

Un carrexo pode provocar un overflow de números enteiros. Por exemplo se temos unha palabra de 8 bits e sumamos 256 + 256 dá 512 que non colle nunha palabra de 8 bits:

    1000 0000 = 256
+   1000 0000 = 256
—————————————
= 1 0000 0000 = 512

Notas

↑ Holte, John M. (February 1997). Carries, Combinatorics, and an Amazing Matrix. The American Mathematical Monthly 104. pp. 138–149. JSTOR 2974981. doi:10.2307/2974981.
↑ Diaconis, Persi (August 2009). Carries, shuffling, and symmetric functions. Advances in Applied Mathematics 43. pp. 176–196. doi:10.1016/j.aam.2009.02.002.
↑ Borodin, Alexei (October 2010). On adding a list of numbers (and other one-dependent determinantal processes). Bulletin of the American Mathematical Society 47. pp. 639–670. doi:10.1090/S0273-0979-2010-01306-9.
↑ Nakano, Fumihiko (February 2014). A generalization of carries processes and Eulerian numbers. Advances in Applied Mathematics 53. pp. 28–43. doi:10.1016/j.aam.2013.09.005.
↑ Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador.
↑ Isaksen, Daniel C. (November 2002). A Cohomological Viewpoint on Elementary School Arithmetic. The American Mathematical Monthly 109. pp. 796–805. doi:10.2307/3072368.
↑ Borovik, Alexandre V. (2010). Mathematics under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice. pp. 87–88.
↑ Metropolis, N.; Gian-Carlo, Rota (May 1973). Significance Arithmetic: The Carrying Algorithm. Journal of Combinatorial Theory 14. pp. 386–421. doi:10.1016/0097-3165(73)90013-7.
↑ Faltin, F.; Metropolis, N. (June 1975). The Real Numbers as a Wreath Product. Advances in Mathematics 16. pp. 278–304. doi:10.1016/0001-8708(75)90115-2.

Véxase tamén

Bibliografía

Ronald J. Tocci (2003). Sistemas Digitais: princípios e aplicações. São Paulo: Pearson Prentice Hall.

Outros artigos

[1] Holte, John M. (February 1997). Carries, Combinatorics, and an Amazing Matrix. The American Mathematical Monthly 104. pp. 138–149. JSTOR 2974981. doi:10.2307/2974981.

[2] Diaconis, Persi (August 2009). Carries, shuffling, and symmetric functions. Advances in Applied Mathematics 43. pp. 176–196. doi:10.1016/j.aam.2009.02.002.

[3] Borodin, Alexei (October 2010). On adding a list of numbers (and other one-dependent determinantal processes). Bulletin of the American Mathematical Society 47. pp. 639–670. doi:10.1090/S0273-0979-2010-01306-9.

[4] Nakano, Fumihiko (February 2014). A generalization of carries processes and Eulerian numbers. Advances in Applied Mathematics 53. pp. 28–43. doi:10.1016/j.aam.2013.09.005.

[5] Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador.

[6] Isaksen, Daniel C. (November 2002). A Cohomological Viewpoint on Elementary School Arithmetic. The American Mathematical Monthly 109. pp. 796–805. doi:10.2307/3072368.

[7] Borovik, Alexandre V. (2010). Mathematics under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice. pp. 87–88.

[8] Metropolis, N.; Gian-Carlo, Rota (May 1973). Significance Arithmetic: The Carrying Algorithm. Journal of Combinatorial Theory 14. pp. 386–421. doi:10.1016/0097-3165(73)90013-7.

[9] Faltin, F.; Metropolis, N. (June 1975). The Real Numbers as a Wreath Product. Advances in Mathematics 16. pp. 278–304. doi:10.1016/0001-8708(75)90115-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]