Teorema do valor medio

O teorema do valor medio

En matemáticas, o teorema do valor medio (tamén coñecido como Teorema de Lagrange) afirma que dada unha función continua f definida nun intervalo fechado [a,b] e diferenciábel en (a,b), existe polo menos un punto c en (a,b) tal que :$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot$

Xeometricamente, isto significa que a tanxente á gráfica de f nun punto de abscisa c é paralela á secante que pasa polos puntos de abscisas a e b

O teorema do valor medio tamén ten unha interpretación en termos físicos: se un obxecto está en movemento e se a súa velocidade media é $v$, entón durante un intervalo [a,b], hai un instante (punto c) no que a velocidade é $v$.

O teorema do valor medio é un dos máis importantes do cálculo diferencial, aínda que se usa non tanto para resolver problemas senón para demostrar outros teoremas. É unha xeneralización do teorema de Rolle.

Teorema do valor medio do cálculo integral

Xeometricamente: interpretando f(c) como a altura dun rectángulo e b–a como o ancho, este rectángulo ten a mesma área que a rexión embaixo da curva de a a b

Sexa f : [a, b] → R unha función continua. Entón existe c en (a, b) tal que

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a).$

Isto dedúcese tamén do teorema fundamental do cálculo, xunto co teorema do valor medio para as derivadas. Dado que o valor medio de f en [a, b] defínese como

${\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx,$

podemos interpretar a conclusión como f alcanza o seu valor medio nalgún c en (a, b).

En xeral, se f : [a, b] → R é continua e g é unha función integrábel que non muda de signo en [ a, b], entón existe c en (a, b) tal que

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Auckland: McGraw-Hill Publishing Company. ISBN 978-0-07-085613-4. 
• Hörmander, Lars (2015). The Analysis of Linear Partial Differential Operators I: Distribution Theory and Fourier Analysis. Classics in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 9783642614972. 

Outros artigos

• Teorema da velocidade media
• Teorema de Rolle

Ligazóns externas

• "Cauchy theorem". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• PlanetMath: Mean-Value Theorem
• Weisstein, Eric W. "Mean value theorem". MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. "Cauchy's Mean-Value Theorem". MathWorld. 
• "Mean Value Theorem: Intuition behind the Mean Value Theorem" at the Khan Academy

---

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

---