Teorema do valor medio de Cauchy

En análise matemática, e máis concretamente en cálculo diferencial, o teorema do valor medio de Cauchy é unha xeneralización do teorema do valor medio (de Lagrange). Así, Augustin Louis Cauchy dixo: sexan $f$ e $g$ continuas en $[a,b]$ e derivábeis en $(a,b)$. Se $f'$ e $g'$ non se anulan simultaneamente, entón existe $c\in (a,b)$ tal que:

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}\qquad$

Demostración

• Sexa G(x) unha función definida como:

$G(x)=[g(b)-g(a)]\cdot [f(x)-f(a)]-[f(b)-f(a)]\cdot [g(x)-g(a)]\,\!$

onde f(x) e g(x) son funcións continuas en [a,b], derivábeis en (a,b). Pódese observar por simple inspección que G(a)=0 e G(b)=0.

• Polo Teorema de Rolle, existe un c, pertencente ao intervalo (a,b), tal que G'(c)=0. Así, derivando G(x) obtense:

$G'(x)=[g(b)-g(a)]\cdot f'(x)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(x)$

e sabendo que G'(c) é 0

$0=[g(b)-g(a)]\cdot f'(c)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(c)$

onde se deduce que

$[f(b)-f(a)]\cdot g'(c)=[g(b)-g(a)]\cdot f'(c)$

• Se g(b)-g(a) e g'(c) son distintos de 0, a expresión anterior pode ser escrita como:

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$

Consecuencias

O teorema de Cauchy emprégase para a demostración doutros teoremas. Permítenos, entre outros, demostrar a regra de L'Hôpital:

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

usada en análise matemática para o cálculo de límites da forma de $\textstyle {\frac {0}{0}}$ e $\textstyle {\frac {\infty }{\infty }}$.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. (2009). "Cauchy's Mean-Value Theorem". Wolfram Mathworld (en inglés). Consultado o 17 de xaneiro de 2010. 
• Trott, Michael (2009). "Mean Value Theorem". Wolfram Demonstrations Project (en inglés). Consultado o 17 de xaneiro de 2009.