Álxebra homolóxica

A álxebra homológica é un campo das matemáticas que estuda a homoloxía nun marco alxébrico xeral. É unha disciplina relativamente nova, cuxos orixes poden remontarse ás investigacións en topoloxía combinatoria (un precursor da topoloxía alxébrica) e en álxebra abstracta (teoría de módulos) de fins do século XIX, lideradas por Henri Poincaré e David Hilbert.

O desenvolvemento da álxebra homolóxica está estreitamente relacionado coa emerxencia da teoría das categorías.

Unha noción importante na álxebra homolóxica é a de secuencia exacta, que pode ser empregada para o cálculo. Unha ferramenta clásica deste campo é o funtor derivado.

Historia

A álxebra homolóxica comezou a ser estudada na súa forma máis básica no século XIX como unha rama da topoloxía, mais non foi até a década de 1940 cando se converteu nunha área independente relacionada co estudo de obxectos como os funtores ext e tor, entre outros.^[1]

Complexos de cadeas e homoloxía

Os complexos de cadeas son o concepto central da álxebra homolóxica. É unha secuencia $(C_{\bullet },d_{\bullet })$ de grupos abelianos e homomorfismos de grupos, coa propiedade de que a composición de dúas aplicaciónss consecutivas é cero:

C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.

Os elementos de C_n chámanse n-cadeas e os homomorfismos d_n chámanse diferenciais. Os grupos de cadeas C_n poden dotarse doutras estruturas; poden ser, por exemplo, espazos vectoriais ou módulos sobre un anel R. Se existir esta estrutura extra os diferenciais deben conservala, é dicir deben de ser aplicacións lineares ou homomorfismos de R-módulos.

Notas

↑ History of Homological Algebra, by Chuck Weibel, pp.797-836 in the book The History of Topology, ed. I.M. James, Elsevier, 1999

Véxase tamén

Bibliografía

Henri Cartan, Samuel Eilenberg, Homological algebra. Co apéndice de David A. Buchsbaum. Reimpreso do orixinal de 1956. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. xvi+390 pp. ISBN 0-691-04991-2
Alexander Grothendieck, Sur quelques points d'algèbre homologique. Tôhoku Math. J. (2) 9, 1957, 119–221
Saunders Mac Lane, Homology. Reimpreso da edición de 1975. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlín, 1995. x+422 pp. ISBN 3-540-58662-8
Peter Hilton; Stammbach, U. A course in homological algebra. Segunda edición. Graduate Texts in Mathematics, 4. Springer-Verlag, Nova York, 1997. xii+364 pp. ISBN 0-387-94823-6
Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Methods of homological algebra. Traducido ao inglés da edición en ruso de 1988. Segunda edición. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xx+372 pp. ISBN 3-540-43583-2
Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Homological algebra. Springer-Verlag, Berlin, 1999. iv+222 pp. ISBN 3-540-65378-3
Weibel, Charles A. (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, MR1269324, ISBN 978-0-521-55987-4, OCLC 36131259.

Outros artigos

[Weber-1] History of Homological Algebra, by Chuck Weibel, pp.797-836 in the book The History of Topology, ed. I.M. James, Elsevier, 1999

[1]