Desviación típica

Imaxe dunha distribución normal onde cada faixa ten unha largura de 1 desviación típica.

En probabilidade e estatística, a desviación típica ou desvío padrón (tamén desvío ou desviación estándar) é a medida máis común de dispersión. De xeito sinxelo, mide como están de dispersos os valores nunha colección de datos.

A desviación estándar está definida como a raíz cadrada da varianza. Defínese desta maneira para dar unha medida da dispersión que é un número non negativo que ten as mesmas unidades que os datos.

O termo desviación estándar foi introducido en estatística por Karl Pearson en 1894.

Interpretación e aplicación

A desviación estándar é unha medida do grao de dispersión dos datos do valor medio. Dito doutra maneira, a desviación estándar é simplemente a "media" ou variación esperada con respecto da media aritmética.

Unha desviación estándar grande indica que os puntos están lonxe da media e unha desviación pequeno indica que os datos están agrupados cerca da media.

Por exemplo, as tres mostras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) e (6, 6, 8, 8) cada unha teñen unha media de 7. As súas desviacións estándar son 7, 5 e 1, respectivamente. A terceira mostra ten unha desviación moito menor que as outras dúas porque os seus valores están máis próximos a 7.

A desviación estándar pode ser interpretado como unha medida de incerteza. A desviación estándar dun grupo repetido de medidas dá a precisión destas. Cando se vai determinar se un grupo de medidas está de acordo co modelo teórico, a desviación estándar desas medidas é de vital importancia: se a media das medidas está demasiado afastada da predición (coa distancia medida en desviacións estándar), entón considérase que as medidas contradín a teoría. Isto é de esperarse xa que as medicións caen fóra do rango de valores dos cales sería razoable esperar que ocorresen se o modelo teórico fose correcto.

Formulación

A desviación estándar (DS/DE) é unha medida de dispersión usada en estatística que indica canto tenden a afastarse os valores puntuais da media nunha distribución. De feito, especificamente a desviación estándar é "a media da distancia de cada punto respecto do valor medio". Adóitase representar por un S ou coa letra sigma, $\sigma _{}^{}$. Esta medida é máis estable que o percorrido e toma en consideración o valor de cada dato.

É posible calcular a desviación estándar como a raíz cadrada da integral

${\sigma }^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }{(x-\mu )}^{2}f(x)dx$

onde

$\mu =\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx$

• O DS é a raíz cadrada da varianza da distribución

$\sigma ^{2}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}$

Así a varianza é a media dos cadrados das diferenzas entre cada valor da variable e a media aritmética da distribución.

Aínda que esta fórmula é correcta, na práctica interesa realizar inferencias de poboación, polo que no denominador en vez de n, úsase n-1 (Corrección de Bessel)

$s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}{n-1}}$

Tamén temos outra función máis sinxela de realizar e con menos risco de ter equivocacións:

$s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n-1}}-{\overline {x}}^{2}$

Exemplo

Aquí móstrase como calcular a desviación estándar dun conxunto de datos. Os datos representan a idade dos membros dun grupo de nenos. { 5, 6, 8, 9 }

1. Calcular a media ${\overline {x}}$.

${\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$.

Neste caso, N = 4 porque hai catro datos:

$x_{1}=5\,\!$

$x_{2}=6\,\!$

$x_{3}=8\,\!$

$x_{4}=9\,\!$

${\overline {x}}={\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}x_{i}$       Substituíndo N por 4

${\overline {x}}={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)$

${\overline {x}}={\frac {1}{4}}\left(5+6+8+9\right)$

${\overline {x}}=7$   Esta é a media.

2. Calcular a desviación estándar $\sigma \,\!$

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$       Substituíndo N por 4

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}(x_{i}-7)^{2}}}$       Substituíndo ${\overline {x}}$ por 7

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(5-7)^{2}+(6-7)^{2}+(8-7)^{2}+(9-7)^{2}\right]}}$

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left((-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+2^{2}\right)}}$

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(4+1+1+4\right)}}$

$\sigma ={\sqrt {\frac {10}{4}}}$

$\sigma =1.5811\,\!$   Esta é a desviación estándar.

Véxase tamén

Outros artigos

• Estatística
• Varianza
• Valor esperado