Distribución uniforme continua

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

**Distribución uniforme continua**
Función de densidade
Función de distribución
Parámetros	$a,b\in (-\infty ,\infty )\,\!$
Soporte	$a\leq x\leq b\,\!$
Función de densidade	${\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&{\mbox{para }}a\leq x\leq b\\\\0&\mathrm {para} \ x<a\ \mathrm {o} \ x>b\end{matrix}}\,\!$
Función de distribución	${\begin{matrix}0&{\mbox{para }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&~~~~~{\mbox{para }}a\leq x<b\\1&{\mbox{para }}x\geq b\end{matrix}}\,\!$
Media	${\frac {a+b}{2}}\,\!$
Mediana	${\frac {a+b}{2}}\,\!$
Moda	calquera valor en $[a,b]\,\!$
Varianza	${\frac {(b-a)^{2}}{12}}\,\!$
Asimetría	$0\,\!$
Curtose	${\frac {9}{5}}\,\!$
Entropía	$\ln(b-a)\,\!$
F. xeradora de momentos	${\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}\,\!$
Func. caract.	${\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}\,\!$

En teoría da probabilidade e estatística, a distribución uniforme continua é unha familia de distribucións de probabilidade para variables aleatorias continuas. En cada membro da familia, todos os intervalos de igual lonxitude na distribución no seu rango son igualmente probables. O dominio está definido por dous parámetros, a e b, que son os seus valores mínimo e máximo. A distribución escríbese en forma abreviada como U(a,b).

Caracterización

Función de densidade

A función de densidade da distribución uniforme continua é:

f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ \ \mathrm {para} \ a\leq x\leq b,\\\\0&\mathrm {para} \ x<a\ \mathrm {o} \ x>b,\end{matrix}}\right.

Os valores nos dous extremos a e b non son en xeral importantes porque non afectan ao valor das integrais de f(x) dx sobre o intervalo, nin de x f(x) dx ou expresións semellantes. Ás veces escóllese que sexan cero e ás veces escóllense co valor 1/(b − a). Este último resulta apropiado no contexto de estimación polo método de máxima verosimilitude. No contexto da análise de Fourier, pódese escoller que o valor de f(a) ou f(b) sexan 1/(2(b − a)), para que entón a transformada inversa de moitas transformadas integrais desta función uniforme resulten na función inicial; doutra forma a función que se obtén sería igual "en case todos os puntos", ou sexa, en todos agás nun conxunto de puntos con medida nula. Tamén, desta forma resulta consistente coa función signo que non posúe esa ambigüidade.

Función de distribución de probabilidade

A función de distribución de probabilidade é:

F(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{para }}x<a\\\\{\frac {x-a}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{para }}a\leq x<b\\\\1&{\mbox{para }}x\geq b\end{matrix}}\right.\,\!

Función xeradora de momentos

A función xeradora de momentos é

M_{x}=E(e^{tx})={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}\,\!

a partir da que se poden calcular os momentos m_k

m_{1}={\frac {a+b}{2}},\,\!

m_{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},\,\!

e, en xeral,

m_{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}.\,\!

Para unha variable aleatoria que segue esta distribución, a esperanza matemática é entón m₁ = (a + b)/2 e a varianza é m₂ − m₁² = (b − a)²/12.

Propiedades

Xeneralización aos conxuntos de Borel

Esta distribución pode ser xeneralizada a conxuntos de intervalos máis complicados. Se S é un conxunto de Borel de medida finita positiva, a distribución de probabilidade uniforme en S pódese especificar definindo que a función de densidade sexa nula fóra de S e igual a 1/K dentro de S, onde K é a medida de Lebesgue de S.

Estatísticas de orde

Sexa X₁,..., X_n unha mostra de variables independentes identicamente distribuídas de U(0,1). Sexa X_(k) a orde estatística k-ésimo desta mostra. Entón a distribución de probabilidade de X_(k) é unha distribución beta con parámetros k e n − k + 1. a esperanza matemática é

\operatorname {E} (X_{(k)})={k \over n+1}.

Isto é útil cando se realizan Q-Q plots.

As varianzas son

\operatorname {Var} (X_{(k)})={k(n-k+1) \over (n+1)^{2}(n+2)}.

Uniformidade

A probabilidade de que unha variable aleatoria uniformemente distribuída se atope dentro dalgún intervalo de lonxitude finita é independente da localización do intervalo (aínda que si depende do tamaño do intervalo), sempre que o intervalo estea contido no dominio da distribución.

É posible verificar isto, por exemplo se X ≈ U(0,b) e [x, x+d] é un subintervalo de [0,b] con d fixo e d > 0, entón

$P\left(X\in \left[x,x+d\right]\right)=\int _{x}^{x+d}{\frac {\mathrm {d} y}{b-a}}\,={\frac {d}{b-a}}\,\!$

o que é independente de x. Este feito é o que lle dá o seu nome á distribución.

Uniforme estándar

Se se restrinxe $a=0$ e $b=1$ , á distribución resultante U(0,1) chámaselle distribución uniforme estándar.

Unha propiedade interesante da distribución uniforme estándar é que se u₁ é unha distribución uniforme estándar, entón 1-u₁ tamén o é.

Distribucións relacionadas

Se X ten unha distribución uniforme estándar, entón:

Y = -ln(X)/λ ten unha distribución exponencial con parámetro λ.
Y = 1 - X^1/n ten unha distribución beta con parámetros 1 e n. Isto implica que a distribución uniforme estándar é un caso especial da distribución beta, con parámetros 1 e 1.

Relacións con outras funcións

Se se seguen as mesmas convencións nos puntos de transición, a función de densidade de probabilidade pode tamén ser expresada mediante a función chanzo de Heaviside:

f(x)={\frac {\operatorname {H} (x-a)-\operatorname {H} (x-b)}{b-a}},\,\!

ou en termo da función rectángulo

f(x)={\frac {1}{b-a}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {x-\left({\frac {a+b}{2}}\right)}{b-a}}\right).

Non existe ambigüidade no punto de transición da función signo. Utilizando a convención da metade do máximo nos puntos de transición, a distribución uniforme pódese expresar a partir da función signo como:

f(x)={\frac {\operatorname {sgn} {(x-a)}-\operatorname {sgn} {(x-b)}}{2(b-a)}}.

Aplicacións

En estatística, cando se emprega un p-valor a modo de proba estatística para unha hipótese nula simple, e a distribución da proba estatística é continua, entón a proba estatística está uniformemente distribuída entre 0 e 1 se a hipótese nula é verdadeira.

Mostraxe dunha distribución uniforme

Existen moitas situacións nas que é útil realizar experimentos de simulación. Moitas linguaxes de programación posúen a capacidade de xerar números pseudoaleatorios que están distribuídos de acordo a unha distribución uniforme estándar.

Se u é un valor extraído dunha mostra dunha distribución uniforme estándar, entón o valor a + (b − a)u posúe unha distribución uniforme con parámetros a e b.

Mostraxe dunha distribución arbitraria

A distribución uniforme resulta útil para facer mostras de distribucións arbitrarias. Un método xeral é o método de mostraxe de transformación inversa, que emprega a distribución de probabilidade (CDF) da variable aleatoria obxectivo. Este método é moi útil en traballos teóricos. Dado que as simulacións que empregan este método requiren inverter a CDF da variable obxectivo, deseñáronse métodos alternativos para aqueles casos onde non se coñece a función de distribución en forma pechada. Outro método semellante é o rejection sampling.

A distribución normal é un exemplo importante no que o método da transformada inversa non é eficiente. Non obstante, existe un método exacto, a transformación de Box-Muller, que utiliza a transformada inversa para converter dúas variables aleatorias uniformes independentes en dúas variables aleatorias independentes distribuídas normalmente.