Forma cadrática

En matemáticas, unha forma cadrática é un polinomio con termos todos de grao dous (un polinomio homoxéneo de grao 2). Por exemplo, $4x^{2}+2xy-3y^{2}$

é unha forma cadrática nas variábeis $x$ e $y$ . Os coeficientes adoitan pertencer a un corpo fixo $K$ , como os números reais ou complexos, e fálase dunha forma cadrática sobre $K$ . Se $K = R$ , e a forma cadrática é igual a cero só cando todas as variábeis son simultaneamente cero, entón é unha forma cadrática definida; se non é unha forma cadrática isotrópica.

As formas cadráticas non se deben confundir cunha ecuación cadrática, que só ten unha variábel e inclúe termos de grao dous ou menos. Unha forma cadrática é un caso do concepto máis xeral de polinomios homoxéneos.

Introdución

As formas cadráticas son polinomios cadráticos homoxéneos en $n$ variábeis. Nos casos dunha, dúas e tres variábeis chámanse unarias, binarias e ternarias e teñen a seguinte forma explícita: ${\begin{aligned}q(x)&=ax^{2}&&{\textrm {(unaria)}}\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}&&{\textrm {(binaria)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\textrm {(ternaria)}}\end{aligned}}$ onde $a$ , ... , $f$ son os coeficientes.^[1]

Usando coordenadas homoxéneas, unha forma cadrática distinta de cero en $n$ variábeis define unha cádrica $(n - 2)$ dimensional no espazo proxectivo $(n - 1)$ dimensional. Esta é unha construción básica en xeometría proxectiva. Deste xeito pódense visualizar formas cadráticas reais tridimensionais como seccións cónicas. Un exemplo é o espazo euclidiano tridimensional e o cadrado da norma euclidiana que expresa a distancia entre un punto con coordenadas $(x, y, z)$ e a orixe: $q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\left\|(x,y,z)\right\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

Matriz simétrica asociada

Calquera matriz $n \times n$ denotada por $A$ determina unha forma cadrática $q A$ en $n$ variábeis por

q_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} ,

onde

A = (a ij)

.

Exemplo

Considere o caso das formas cadráticas en tres variábeis $x, y, z$ . A matriz $A$ ten a forma

A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{bmatrix}}.

A fórmula anterior dá

q_{A}(x,y,z)=ax^{2}+ey^{2}+kz^{2}+(b+d)xy+(c+g)xz+(f+h)yz.

Así, dúas matrices diferentes definen a mesma forma cadrática se e só se teñen os mesmos elementos na diagonal e os mesmos valores para as sumas $b + d$ , $c + g$ e máis $f + h$ . En particular, a forma cadrática $q A$ está definida por unha matriz simétrica única $A={\begin{bmatrix}a&{\frac {b+d}{2}}&{\frac {c+g}{2}}\\{\frac {b+d}{2}}&e&{\frac {f+h}{2}}\\{\frac {c+g}{2}}&{\frac {f+h}{2}}&k\end{bmatrix}}.$

Isto xeneralízase a calquera número de variábeis do seguinte xeito.

Caso xeral

Dada unha forma cadrática $q A$ , definida pola matriz $A = (a ij)$ , a matriz

B=\left({\frac {a_{ij}+a_{ji}}{2}}\right)

é simétrica, define a mesma forma cadrática que $A$ , e é a única matriz simétrica que define $q A$ .

Así, sobre os números reais (e, máis xeralmente, sobre un corpo de característica diferente de dous), hai unha correspondencia un a un entre as formas cadráticas e as matrices simétricas que as determinan.

Formas cadráticas reais

Un problema fundamental é a clasificación de formas cadráticas reais baixo un cambio linear de variábeis.

Jacobi demostrou que, para cada forma cadrática real, hai unha diagonalización ortogonal; é dicir, un cambio ortogonal de variábeis que pon a forma cadrática nunha "forma diagonal"

\lambda _{1}{\tilde {x}}_{1}^{2}+\lambda _{2}{\tilde {x}}_{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}{\tilde {x}}_{n}^{2},

onde a matriz simétrica asociada é diagonal. A maiores, os coeficientes $λ 1, λ 2, ..., λ n$ determínanse unicamente ata unha permutación.^[2]

Se o cambio de variábeis vén dado por unha matriz invertíbel que non é necesariamente ortogonal, pódese supoñer que todos os coeficientes $λ i$ son 0, 1 ou −1. A lei de inercia de Sylvester estabelece que as cantidades de cada 0, 1 e −1 son invariantes da forma cadrática, no sentido de que calquera outra diagonalización conterá as mesmo cantidades. A sinatura da forma cadrática é a terna $(n 0, n +, n -)$ , onde se contan o número de 0s, o número de 1s e o número de −1s, respectivamente. A lei de inercia de Sylvester mostra que esta é unha cantidade ben definida unida á forma cadrática.

O caso no que todos $λ i$ teñen o mesmo signo é especialmente importante: neste caso a forma cadrática chámase definida positiva (todo 1) ou definida negativa (todo -1). Se ningún dos termos é 0, entón chámase forma non dexenerada; isto inclúe as formas cadráticas definidas positivas, definidas negativas e isotrópicas (unha mestura de 1 e −1); de xeito equivalente, unha forma cadrática non dexenerada é aquela cuxa forma simétrica asociada é unha forma bilinear non dexenerada. Un espazo vectorial real cunha forma cadrática indefinida non dexenerada de índice $(p, q)$ (onde $p$ denota o número de 1s e $q$ denota o número de −1s) é a miúdo escrito como $R p, q$ particularmente na teoría física do espazo-tempo.

Tamén se pode definir o discriminante dunha forma cadrática, concretamente a clase do determinante dunha matriz representativa en $K / (K \times) 2$ (ata cadrados distintos de cero) e para unha forma cadrática real, resulta ser unha invariante máis forte que a sinatura, tomando valores de só "positivo, cero ou negativo". O cero corresponde a dexenerada, mentres que para unha forma non dexenerada é a paridade do número de coeficientes negativos, $(-1) n -$ .

Estes resultados reformúlanse a continuación dun xeito diferente.

Sexa $q$ unha forma cadrática definida nun espazo vectorial real $n$ -dimensional. Sexa $A$ a matriz da forma cadrática $q$ nunha base dada. Isto significa que $A$ é unha matriz $n \times n$ simétrica tal que

q(v)=x^{\mathsf {T}}Ax,

onde x é o vector columna de coordenadas de $v$ na base escollida. Baixo un cambio de base, a columna $x$ multiplícase pola esquerda por unha matriz invertíbel $S$ , $n \times n$ , e a matriz cadrada simétrica $A$ transfórmase noutra matriz cadrada simétrica $B$ do mesmo tamaño segundo a fórmula

A\to B=S^{\mathsf {T}}AS.

Calquera matriz simétrica $A$ pode transformarse nunha matriz diagonal

B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}

mediante unha elección axeitada dunha matriz ortogonal $S$ , e as entradas diagonais de $B$ determínanse de forma única: este é o teorema de Jacobi. Se se permite que $S$ sexa calquera matriz invertíbel, pódese facer que $B$ teña só 0, 1 e -1 na diagonal, e o número de entradas de cada tipo ( $n 0$ para 0, $n +$ para 1 e $n -$ para −1) depende só de $A$ . Esta é unha das formulacións da lei de inercia de Sylvester e os números $n +$ e $n -$ chámanse índices de inercia positivo e negativo. Aínda que a súa definición implicaba unha elección de unha base e a consideración da correspondente matriz simétrica real $A$ , a lei de inercia de Sylvester significa que son invariantes da forma cadrática $q$ .

Definicións

Unha forma cadrática sobre un corpo $K$ é un mapa $q : V \to K$ dun espazo vectorial de dimensión finita en $K$ tal que $q (av) = a 2 q (v)$ para todo $a \in K$ , $v \in V$ e a función $q (u + v) - q (u) - q (v)$ é bilinear.

Máis concretamente, unha forma cadrática $n$ -aria sobre un corpo $K$ é un polinomio homoxéneo de grao 2 en $n$ variábeis con coeficientes en $K$ :

q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.

Esta fórmula pódese reescribir usando matrices: sexa $x$ o vector columna con compoñentes $x 1$ , ... , $x n$ e sexa $A = (a ij)$ a matriz $n \times n$ sobre $K$ cuxas entradas son os coeficientes de $q$ . Entón

q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax.

Un vector $v = (x 1, ..., x n)$ é un vector nulo se $q (v) = 0$ .

Dúas formas cadráticas $n$ -arias $φ$ e $ψ$ sobre $K$ son equivalentes se existe unha transformación linear non singular $C \in GL (n, K)$ tal que

\psi (x)=\varphi (Cx).

Sexa a característica de $K$ diferente de 2.^[3] A matriz de coeficientes $A$ de $q$ pode substituírse pola matriz simétrica $(A + A T)/2$ coa mesma forma cadrática, polo que se pode asumir desde o principio que $A$ é simétrica. A maiores, unha matriz simétrica $A$ está determinada de forma única pola forma cadrática correspondente. Baixo unha equivalencia $C$ , a matriz simétrica $A$ de $φ$ e a matriz simétrica $B$ de $ψ$ están relacionadas do seguinte xeito:

B=C^{\mathsf {T}}AC.

A forma bilinear asociada dunha forma cadrática $q$ defínese por

b_{q}(x,y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))=x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.

Así, $b q$ é unha forma bilinear simétrica sobre $K$ con matriz $A$ . Pola contra, calquera forma bilinear simétrica $b$ define unha forma cadrática

q(x)=b(x,x),

e estes dous procesos son inversos entre si. Como consecuencia, sobre un corpo de característica non igual a 2, as teorías das formas bilineares simétricas e das formas cadráticas en $n$ variábeis son esencialmente as mesmas.

Espazo cadrático

Dado un espazo vectorial $n$ -dimensional $V$ sobre un corpo $K$ , unha forma cadrática en $V$ é unha función $Q : V \to K$ que ten a seguinte propiedade: para algunha base, a función $q$ que mapea as coordenadas de $v \in V$ en $Q (v)$ é unha forma cadrática. En particular, se $V = K n$ coa súa base estándar, temos

q(v_{1},\ldots ,v_{n})=Q([v_{1},\ldots ,v_{n}])\quad {\text{para}}\quad [v_{1},\ldots ,v_{n}]\in K^{n}.

As fórmulas de cambio de base mostran que a propiedade de ser unha forma cadrática non depende da elección dunha base específica en $V$ , aínda que a forma cadrática $q$ depende da elección da base.

Un espazo vectorial de dimensión finita cunha forma cadrática chámase espazo cadrático .

O mapa $Q$ é unha función homoxénea de grao 2, o que significa que ten a propiedade de que, para todo $a$ en $K$ e $v$ en $V$ :

Q(av)=a^{2}Q(v).

Cando a característica de $K$ non é 2, o mapa bilinear $B : V \times V \to K$ sobre $K$ defínese:

B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).

Esta forma bilinear $B$ é simétrica. É dicir, $B (x, y) = B (y, x)$ para todo $x$ , $y$ en $V$ , e determina $Q$ : $Q (x) = B (x, x)$ para todo $x$ en $V$ .

O par $(V, Q)$ formado por un espazo vectorial de dimensión finita $V$ sobre $K$ e un mapa cadrático $Q$ de $V$ en $K$ chámase espazo cadrático, e $B$ tal como se define aquí é a forma bilinear simétrica asociada a $Q$ . A noción de espazo cadrático é unha versión sen coordenadas da noción de forma cadrática. Ás veces, $Q$ tamén se denomina forma cadrática.

Dous espazos cadráticos de dimensión $n$ $(V, Q)$ e $(V', Q')$ son isométricos se existe unha transformación linear invertíbel $T : V \to V'$ (isometría) tal que

Q(v)=Q'(Tv){\text{ para todo }}v\in V.

As clases de isometría de espazos cadráticos $n$ -dimensionais sobre $K$ corresponden ás clases de equivalencia de formas cadráticas $n$ -arias sobre $K$ .

Conceptos relacionados

Dous elementos $v$ e $w$ de $V$ chámanse ortogonais se $B (v, w) = 0$ . O kernel dunha forma bilinear $B$ está formado polos elementos que son ortogonais a todo elemento de $V$ . $Q$ é non singular se o kernel da súa forma bilinear asociada é ${0}$ . Se existe un $v$ distinto de cero en $V$ tal que $Q (v) = 0$ , a forma cadrática $Q$ é isotrópica, doutro modo é definida. Esta terminoloxía tamén se aplica aos vectores e subespazos dun espazo cadrático. Se a restrición de $Q$ a un subespazo $U$ de $V$ é idéntico a cero, entón $U$ é totalmente singular.

O grupo ortogonal dunha forma cadrática non singular $Q$ é o grupo dos automorfismos lineares de $V$ que conservan $Q$ : é dicir, o grupo de isometrías de $(V, Q)$ en si mesmo.

Se un espazo cadrático $(A, Q)$ ten un produto polo que $A$ é unha álxebra sobre un corpo e cumpre

\forall x,y\in A\quad Q(xy)=Q(x)Q(y),

entón é unha álxebra de composición.

Equivalencia de formas

Toda forma cadrática $q$ en $n$ variábeis sobre un corpo de característica non igual a 2 é equivalente a unha forma diagonal

q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.

Tal forma diagonal é a miúdo denotada como $⟨ a 1, ..., a n ⟩$ . A clasificación de todas as formas cadráticas ata equivalencia pódese reducir así ao caso das formas diagonais.

Significado xeométrico

Usando coordenadas cartesianas en tres dimensións, sexa $x = (x, y, z) T$ , e sexa $A$ unha matriz simétrica de 3 por 3. Entón, a natureza xeométrica do conxunto solución da ecuación $x T A x + b T x = 1$ depende dos eigenvalores da matriz $A$ .

Se todos os eigenvalores de $A$ son distintos de cero, entón o conxunto de solucións é un elipsoide ou un hiperboloide. Se todos os valores propios son positivos, entón é un elipsoide; se todos os eigenvalores son negativos, entón é un elipsoide imaxinario (obtemos a ecuación dun elipsoide mais con raios imaxinarios); se algúns valores propios son positivos e outros son negativos, entón é un hiperboloide.

Se existen un ou máis valores propios $λ i = 0$ , entón a forma depende do $b i$ correspondente. Se o correspondente $b i \neq 0$ , entón o conxunto solución é un paraboloide (xa sexa elíptico ou hiperbólico); se o correspondente $b i = 0$ , entón a dimensión $i$ dexenera e non entra en xogo, e o significado xeométrico estará determinado por outros valores propios e outros compoñentes de $b$ . Cando o conxunto solución é un paraboloide, se é elíptico ou hiperbólico está determinado por se todos os demais valores propios distintos de cero son do mesmo signo: se o son, entón é elíptico; no caso contrario, é hiperbólico.

Formas cadráticas integrais

As formas cadráticas sobre o anel de enteiros chámanse formas cadráticas integrais, mentres que os módulos correspondentes son retículas cadráticas. Xogan un papel importante na teoría de números e na topoloxía.

Unha forma cadrática integral ten coeficientes enteiros, como $x 2 + xy + y 2$ ; de forma equivalente, dada unha retícula $Λ$ nun espazo vectorial $V$ (sobre un corpo con característica 0, como $Q$ ou $R$ ), unha forma cadrática $Q$ é integral en relación a $Λ$ se e só se ten un valor enteiro en $Λ$ , o que significa $Q (x, y) \in Z$ se $x, y \in Λ$ .

Este é o uso actual do termo; no pasado ás veces utilizábase de forma diferente.

Formas cadráticas universais

Unha forma cadrática integral cuxa imaxe consta de todos os enteiros positivos chámase ás veces universal. O teorema dos catro cadrados de Lagrange mostra que $w 2 + x 2 + y 2 + z 2$ é universal. Ramanujan xeneralizou este $aw 2 + bx 2 + cy 2 + dz 2$ e atopou 54 multiconxuntos ${a, b, c, d}$ que poden xerar todos os números enteiros positivos, propiamente,

${1, 1, 1, d}, 1 \leq d \leq 7$
${1, 1, 2, d}, 2 \leq d \leq 14$
${1, 1, 3, d}, 3 \leq d \leq 6$
${1, 2, 2, d}, 2 \leq d \leq 7$
${1, 2, 3, d}, 3 \leq d \leq 10$
${1, 2, 4, d}, 4 \leq d \leq 14$
${1, 2, 5, d}, 6 \leq d \leq 10$

Tamén hai formas cuxa imaxe está formada por todos os enteiros positivos menos un. Por exemplo, ${1, 2, 5, 5}$ ten o 15 como excepción. Recentemente, os teoremas 15 e 290 caracterizaron completamente as formas cadráticas integrais universais: se todos os coeficientes son enteiros, entón representa a todos os enteiros positivos se e só se representa todos os enteiros ata 290; se ten unha matriz de enteiros, representa todos os enteiros positivos se e só se representa todos os números enteiros ata 15.

Notas

↑ Unha tradición que se remonta a Gauss dita o uso de coeficientes manifestamente pares para os produtos de distintas variábeis, é dicir, $2 b$ en lugar de $b$ en formas binarias e $2 b$ , $2 d$ , $2 f$ en lugar de $b$ , $d$ , $f$ en formas ternarias. Ambas convencións ocorren na literatura.
↑ Maxime Bôcher (with E.P.R. DuVal)(1907) Introduction to Higher Algebra, § 45 Reduction of a quadratic form to a sum of squares via HathiTrust
↑ A teoría das formas cadráticas sobre un corpo de característica 2 ten diferenzas importantes e hai que modificar moitas definicións e teoremas.

Véxase tamén

Bibliografía

O'Meara, O.T. (2000). Introduction to Quadratic Forms. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66564-9.
Conway, John Horton; Fung, Francis Y. C. (1997). The Sensual (Quadratic) Form. Carus Mathematical Monographs. The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-030-5.
Shafarevich, I. R.; Remizov, A. O. (2012). Linear Algebra and Geometry. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.
Cassels, J.W.S. (1978). Rational Quadratic Forms. London Mathematical Society Monographs 13. Academic Press. ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029.
Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmetic of quadratic forms. Cambridge Tracts in Mathematics 106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021.
Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 73. Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.
O'Meara, O.T. (1973). Introduction to quadratic forms. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 117. Springer-Verlag. ISBN 3-540-66564-1. Zbl 0259.10018.
Pfister, Albrecht (1995). Quadratic Forms with Applications to Algebraic Geometry and Topology. London Mathematical Society lecture note series 217. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46755-1. Zbl 0847.11014.

Outros artigos

Ligazóns externas

A.V.Malyshev (2001) [1994]. "Quadratic form". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
A.V.Malyshev (2001) [1994]. "Binary quadratic form". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.

[1] Unha tradición que se remonta a Gauss dita o uso de coeficientes manifestamente pares para os produtos de distintas variábeis, é dicir, $2 b$ en lugar de $b$ en formas binarias e $2 b$ , $2 d$ , $2 f$ en lugar de $b$ , $d$ , $f$ en formas ternarias. Ambas convencións ocorren na literatura.

[2] Maxime Bôcher (with E.P.R. DuVal)(1907) Introduction to Higher Algebra, § 45 Reduction of a quadratic form to a sum of squares via HathiTrust

[3] A teoría das formas cadráticas sobre un corpo de característica 2 ten diferenzas importantes e hai que modificar moitas definicións e teoremas.

[1]

[2]

[3]