Matriz simétrica

En álxebra linear e multilinear, unha matriz simétrica é unha matriz cadrada que é igual á súa propia transposición, é dicir, tal que a_i,j = a_j,i para todo i e j entre 1 e n, onde a_i,j son os coeficientes da matriz e n é a súa orde.

Exemplos

Os coeficientes dunha matriz simétrica son simétricos en relación á diagonal principal (desde a esquina superior esquerda ata a esquina inferior dereita). A seguinte matriz é simétrica:

{\begin{pmatrix}2&4&6\\4&0&10\\6&10&12\end{pmatrix}}

Toda matriz diagonal é simétrica.

Propiedades

Unha matriz que representa un operador bilinear é simétrica se e só se o operador é simétrico.
O conxunto de matrices simétricas de orde n con coeficientes nun corpo conmutativo é un subespazo vectorial de dimensión n(n +1)/2 do espazo vectorial de matrices cadradas de orde n, e se a característica do corpo é diferente de 2, un subespazo adicional é o das matrices antisimétricas.

Matrices simétricas reais

Descomposición espectral

Nun espazo euclidiano, unha matriz que representa un endomorfismo nunha base ortonormal é simétrica se e só se o endomorfismo é autoadxunto. O teorema espectral de dimensións finitas deduce que calquera matriz simétrica con coeficientes reais é diagonalizábel usando unha matriz de paso ortogonal, porque os valores propios dun endomorfismo autoadxunto son reais e os seus subespazos propios son ortogonais.

Numericamente, o proceso de diagonalización aplícase a calquera matriz simétrica $A$ e consiste en facer a súa descomposición na forma

A=ODO^{\mathsf {T}}

,

onde $O$ é unha matriz ortogonal (cuxas columnas son vectores propios de $A$ ) e onde $D$ é unha matriz diagonal cuxos coeficientes son precisamente os valores propios de $A$ .

Nota: unha matriz simétrica con coeficientes complexos pode non ser diagonalizábel. Por exemplo, a matriz

{\begin{pmatrix}1&{\rm {i}}\\{\rm {i}}&-1\end{pmatrix}}

admite 0 como único valor propio; se fose diagonalizábel, sería cero. O análogo complexo das matrices simétricas reais son de feito matrices hermitianas (que son diagonalizábeis).

Desigualdade de traza de Ky Fan

Denotamos ${\mathcal {S}}^{n}$ o espazo vectorial de matrices reais simétricas de orde n e $\lambda _{i}(A)\in \mathbb {R}$ , $i=1,\ldots ,n$ , os $n$ valores propios de $A\in {\mathcal {S}}^{n}$ , en orde descendente:

\lambda _{1}(A)\geqslant \lambda _{2}(A)\geqslant \cdots \geqslant \lambda _{n}(A).

Presentamos a función

\lambda :{\mathcal {S}}^{n}\to \mathbb {R} ^{n}:A\mapsto (\lambda _{1}(A),\ldots ,\lambda _{n}(A))

e, para un vector columna $v\in \mathbb {R} ^{n}$ , temos $v^{\mathsf {T}}$ o vector fila transposto e $\operatorname {Diag} (v)$ a matriz diagonal cuxo coeficiente índice $(i,i)$ é $v_{i}$ .

Desigualdade de traza de Ky Fan

Para todas as $A$ e $B\in {\mathcal {S}}^{n}$ , temos
$\langle A,B\rangle \leqslant \lambda (A)^{\mathsf {T}}\lambda (B),$

onde 〈⋅, ⋅〉denota o produto escalar canónico en $M_{n}(\mathbb {R} )$ , con igualdade se e só se se poden obter as descomposicións espectrais ordenadas $\lambda (A)$ e $\lambda (B)$ de $A$ e $B$ pola mesma matriz ortogonal, isto é, se e só se

$\exists \,V~{\mbox{ortogonal}}:\quad A=V\;\operatorname {Diag} (\lambda (A))\;V^{\mathsf {T}}\quad {\text{e máis}}\quad B=V\;\operatorname {Diag} (\lambda (B))\;V^{\mathsf {T}}.$

Segundo a definición anterior en termos de endomorfismos autoadxuntos, $A$ e $B\in {\mathcal {S}}^{n}$ son diagonalizábeis simultaneamente se e só se entre elas conmutan, e a matriz de paso pódese escoller entón ortogonal. A condición de igualdade na desigualdade de Ky Fan é máis forte, porque require que as matrices diagonais obtidas estean ordenadas. Así, $A=\operatorname {Diag} (1,2)$ e $B=\operatorname {Diag} (2,1)$ conmutan mais $\langle A,B\rangle =4$ difire de $\lambda (A)^{\mathsf {T}}\lambda (B)=5$ .
A desigualdade de Ky Fan é un refinamento da desigualdade de Cauchy-Schwarz no subespazo euclidiano ${\mathcal {S}}^{n}$ (matrices simétricas) de $M_{n}(\mathbb {R} )$ (matrices cadradas), no sentido de que a segunda se pode deducir da primeira. De feito, se $A=V\,\operatorname {Diag} (\lambda (A))\,V^{\mathsf {T}}$ con $V$ ortogonal, temos

\|\lambda (A)\|_{2}=\|\operatorname {Diag} (\lambda (A))\|=\|V\,\operatorname {Diag} (\lambda (A))\,V^{\mathsf {T}}\|=\|A\|,

onde

\|\cdot \|_{2}

e

\|\cdot \|

denotan as normas euclidianas canónicas en

\mathbb {R} ^{n}

e

M_{n}(\mathbb {R} )

. Polo tanto, a desigualdade de Ky Fan e a desigualdade de Cauchy-Schwarz en

\mathbb {R} ^{n}

dan

\langle A,B\rangle \leqslant \|\lambda (A)\|_{2}\,\|\lambda (B)\|_{2}=\|A\|\,\|B\|.

Deducimos a desigualdade de Cauchy-Schwarz en

{\mathcal {S}}^{n}

ao tempo que temos en conta a que se obtén substituíndo a

B

anterior por

-B

.

Ao aplicar a desigualdade de Ky Fan a matrices diagonais, atopamos unha desigualdade de Hardy, Littlewood e Pólya,^[1] sinxela de demostrar directamente, segundo a cal o produto escalar euclidiano de dous vectores $x$ e $y$ increméntase co dos vectores $[x]$ e $[y]$ obtidos dos vectores anteriores ordenando os seus compoñentes por orde descendente: