Matriz antisimétrica

En matemáticas, e máis precisamente en álxebra linear, unha matriz antisimétrica é unha matriz cadrada oposta á súa transposta. (Skew-symmetric matrix en inglés).

Definición

Dise que unha matriz cadrada A con coeficientes en calquera anel é antisimétrica se a súa transposta é igual á súa oposta, é dicir, se cumpre a ecuación:

A ^⊤ = – A

ou tamén, escribindoo con coeficientes da forma A = (a_i,j), se:

para todo i e j, a_j,i = – a_i,j.

Exemplos

As seguintes matrices son antisimétricas :

${\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix}}\qquad ;\qquad {\begin{pmatrix}0&1&-2\\-1&0&3\\2&-3&0\end{pmatrix}}.$

Ao longo de todo este artigo, asumimos que todas as entradas da matriz pertencen a un corpo $\mathbb {F}$ cuxa característica é distinta de 2. É dicir, asumimos que 1 + 1 ≠ 0, onde 1 denota a identidade multiplicativa e 0 a identidade aditiva do corpo dado. Se a característica do corpo é 2, entón unha matriz antisimétrica é o mesmo que unha matriz simétrica.

Propiedades

Caracterizacións

• A suma de dúas matrices antisimétricas é antisimétrica.
• Un múltiplo escalar dunha matriz de antisimétrica é antisimétrica.
• Os elementos da diagonal dunha matriz antisimétrica son cero e, polo tanto, a súa traza é igual a cero.
• Se ${\textstyle A}$ é unha matriz antisimétrica real e ${\textstyle \lambda }$ é un valor propio real, entón ${\textstyle \lambda =0}$, é dicir, os valores propios distintos de cero dunha matriz antisimétrica non son reais.
• Se ${\textstyle A}$ é unha matriz antisimétrica real, entón ${\textstyle I+A}$ é invertíbel, onde ${\textstyle I}$ é a matriz de identidade.
• Se ${\textstyle A}$ é unha matriz antisimétrica, entón ${\textstyle A^{2}}$ é unha matriz simétrica negativa semidefinida.

Espazos de matrices antisimétricas

• O espazo das matrices simétricas e o das matrices antisimétricas son suplementarios no espazo das matrices cadradas. De feito, calquera matriz cadrada descompónse de forma única do seguinte xeito:

$A={\frac {A+A^{\mathsf {T}}}{2}}+{\frac {A-A^{\mathsf {T}}}{2}}.$

• Cando o corpo de coeficientes é o dos reais, estes dous espazos son ortogonais se dotamos ao espazo de matrices cadradas do produto escalar, unha de cuxas expresións é precisamente  :  

$(A,B)\mapsto Tr(A^{\mathsf {T}}~B).$

• As matrices antisimétricas de tipo (n, n) forman un espazo vectorial de dimensión n(n-1)/2. A base canónica é a familia $\left(A_{ij}\right)_{1\leq i<j\leq n}$ de matrices $A_{ij}$ que teñen 1 na fila i e na columna j e –1 na fila j e na columna i.
• No caso real, este espazo vectorial é o espazo tanxente ao grupo ortogonal O(n).

Diagonalización e descomposicións

Calquera matriz antisimétrica real é diagonalizábel no corpo dos complexos e os seus valores propios son puros imaxinarios. De feito, se A é antisimétrica real, iA é hermitiana, é dicir, autoadxunta.

De feito, as matrices antisimétricas de tipo (n, n) forman unha álxebra de Lie usando o corchete de Lie  e é a álxebra de Lie asociada ao grupo de Lie O(n).

Unha matriz G é ortogonal e ten un determinante igual a 1, é dicir, é un elemento da compoñente conexa do grupo ortogonal onde se sitúa a matriz unidade, se e só se existe unha matriz antisimétrica A tal que :  

(ver o artigo " Matriz exponencial ").

Matriz antisimétrica asociada a un vector

Un exemplo de matriz antisimétrica 3×3 é a matriz $\mathbf {\Omega } (t)$ asociado co vector velocidade angular $\omega (t)$ (tamaño 3x1) :

${\dot {r}}(t)=\omega (t)\wedge r(t)=\mathbf {\Omega } (t)\;r(t)$

onde a matriz antisimétrica $\mathbf {\Omega } (t)$ ten a forma  :

$\mathbf {\Omega } (t)={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{pmatrix}}.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8. 
• Suprunenko, D. A. (2001) [1994]. "Skew-symmetric matrix". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 
• Aitken, A. C. (1944). "On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants.". Edinburgh Math. Notes 34: 1–5. doi:10.1017/S0950184300000070. 

Outros artigos

• Teorema espectral.
• Matriz simétrica.

Ligazóns externas

• "Antisymmetric matrix". Wolfram Mathworld. 
• Benner, Peter; Kressner, Daniel. "HAPACK – Software for (Skew-)Hamiltonian Eigenvalue Problems". 
• Ward, R. C.; Gray, L. J. (1978). "Algorithm 530: An Algorithm for Computing the Eigensystem of Skew-Symmetric Matrices and a Class of Symmetric Matrices [F2]". ACM Transactions on Mathematical Software 4 (3): 286. doi:10.1145/355791.355799.  Fortran Fortran90