Homotecia

Homotecia: Exemplo con $k>0$
Para $k=1$ obtense a identidade (non se move punto ningún),
Para $k>1$ unha ampliación
Para $k<1$ unha redución

Exemplo con $k<0$
Para $k=-1$ obtense unha simetría central nun punto $S$

Homotecia dunha pirámide

En matemáticas, unha homotecia é unha transformación dun espazo afín determinada por un punto S chamado centro e un número distinto de cero $k$ chamado o seu ratio, que envía o punto $X$ ata un punto $X'$ mediante a regra

${\overrightarrow {SX'}}=k{\overrightarrow {SX}}$ para un número fixo $k\neq 0$.

Usando vectores de posición:

$\mathbf {x} '=\mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )$ .

No caso de $S=O$ (Orixe):

$\mathbf {x} '=k\mathbf {x}$ ,

que é unha escala uniforme, onde temos algunhas opcións especiais para $k$ :

para $k=1$ obtemos o mapeo de identidade,

para $k=-1$obtemos o reflexo no centro,

Para $1/k$ obtense o mapa inverso definida por $k$ .

Na xeometría euclidiana as homotecias son as semellanzas que fixan un punto e conservan (se $k>0$) ou inverten (se $k<0$ ) a dirección de todos os vectores. Xunto coas translacións, todas as homotecias dun espazo afín (ou euclidiano) forman un grupo, o grupo de homotecías-translacións. Estas son precisamente as transformacións afines coa propiedade de que a imaxe de cada recta g é unha liña paralela a g.

En xeometría proxectiva, unha transformación homotética é unha transformación de semellanza (é dicir, fixa unha involución elíptica dada) que deixa a recta no infinito invariante.

Na xeometría euclidiana, unha homotecia de razón $k$ multiplica as distancias entre puntos por $|k|$, áreas por $k^{2}$ e volumes por $|k|^{3}$. Aquí $k$ é o factor de aumento ou dilatación ou o factor de escala ou a razón de semellanza. Tal transformación pódese chamar ampliación se o factor de escala supera 1. O punto fixo S mencionado anteriormente chámase centro homotético ou centro de semellanza.

As homotecias utilízanse para escalar o contido das pantallas de ordenador; por exemplo, teléfonos intelixentes, notebooks e portátiles.

Propiedades

As seguintes propiedades cúmprense en calquera dimensión.

Mapeo de liñas, segmentos e ángulos

• Unha liña mapea nunha liña paralela. Polo tanto: os ángulos permanecen inalterados.
• Consérvase a razón de dous segmentos de liña .

Ambas as propiedades mostran:

• Unha homotecia é unha semellanza .

Consecuencias: un triángulo mapea sobre outro semellante. A imaxe homotética dun círculo é un círculo. A imaxe dunha elipse é semellante, é dicir, a razón dos dous eixes non muda.

Con Teorema de Tales

Composición

A composición de dúas homotecias con centros $S_{1},S_{2}$ e ratios $k_{1}=2,k_{2}=0{.}3$ mapeando $P_{i}\to Q_{i}\to R_{i}$ é unha homotecia de novo co seu centro $S_{3}$ na liña ${\overline {S_{1}S_{2}}}$ con proporción $k\cdot l=0{.}6$ .

• A composición de dúas homotecias co mesmo centro $S$ volve ser unha homotecia co centro $S$ . As homotecias con centro $S$ formar un grupo.
• A composición de dúas homotecias con centros diferentes $S_{1},S_{2}$ e as súas razóns $k_{1},k_{2}$ resulta en

en caso de $k_{1}k_{2}\neq 1$ unha homotecia co centro na liña ${\overline {S_{1}S_{2}}}$ e proporción $k_{1}k_{2}$ ou

en caso de $k_{1}k_{2}=1$ unha translación na dirección ${\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}$. Sobre todo, se $k_{1}=k_{2}=-1$ (reflexións centrais).

Composición con translación

• A composición dunha homotecia e dunha translación é unha homotecia.

Demostración:

A composición da homotecia

$\sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ),\;k\neq 1,\;$ e a translación

$\tau :\mathbf {x} \to \mathbf {x} +\mathbf {v}$ é

$\tau \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +\mathbf {v} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )$

$=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}+k\left(\mathbf {x} -(\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}})\right)$

que é unha homotecia con centro $\mathbf {s} '=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}$ e razón $k$.

En coordenadas homoxéneas

A homotecia $\sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )$ con centro $S=(u,v)$ pódese escribir como a composición dunha homotecia con centro $O$ e unha translación:

$\mathbf {x} \to k\mathbf {x} +(1-k)\mathbf {s}$ .

De aí que $\sigma$ pódese representar en coordenadas homoxéneas pola matriz:

${\begin{pmatrix}k&0&(1-k)u\\0&k&(1-k)v\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Unha transformación linear de homotecia pura tamén é conforme porque está composta por translación e escala uniforme.

Véxase tamén

Bibliografía

• H.S.M. Coxeter, "Introduction to geometry" , Wiley (1961), p. 94
• Hadamard, J. Lessons in Plane Geometry. 
• Meserve, Bruce E. (1955). "Homothetic transformations". Fundamental Concepts of Geometry. Addison-Wesley. pp. 166–169. 
• Tuller, Annita (1967). A Modern Introduction to Geometries. University Series in Undergraduate Mathematics. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Co. 

Outros artigos

• Escala (xeometría) noción similar en espazos vectoriais
• Translación (xeometría)
• Rotación (xeometría)

Ligazóns externas

• Homothety, interactivo de Cut-the-Knot.