Xeometría euclidiana

A xeometría euclidiana^[1] é o estudo das propiedades xeométricas dos espazos euclidianos. É aquela que estuda as propiedades xeométricas do plano afín euclidiano real e do espazo afín euclidiano tridimensional real mediante o método sintético, introducindo os cinco postulados de Euclides.

Tamén é común (abusando da linguaxe) dicir que unha xeometría é euclidiana se non é non euclidiana, é dicir, se nesa xeometría se verifica o quinto postulado de Euclides. Esta denominación está cada vez máis en desuso, debido á perda de interese que vai tendo o tema da posibilidade de trazar paralelas a unha recta dende un punto exterior á mesma.

En ocasións os matemáticos empregan a expresión xeometría euclidiana para englobar xeometrías de dimensións superiores con propiedades similares. Con todo, con frecuencia son sinónimos de xeometría plana ou de xeometría clásica.

Interpretacións

Dende un punto de vista historiográfico, a xeometría euclidiana é aquela xeometría que postulou Euclides, no seu libro Os elementos, deixando á marxe as achegas que se fixeron posteriormente, dende Arquímedes até Jakob Steiner.
Segundo a contraposición entre método sintético e método alxébrico-analítico, a xeometría euclidiana sería, precisamente, o estudo por métodos sintéticos dos invariantes dun espazo vectorial real de dimensión 3 dotado dun produto escalar moi concreto (o denominado frecuentemente «produto escalar habitual»).
Segundo a filosofía do programa de Erlangen (proposto polo matemático Felix Klein), a xeometría euclidiana sería o estudo dos invariantes das isometrías nun espazo euclidiano (espazo vectorial real de dimensión finita, dotado dun produto escalar), ao aplicarlles transformacións ortogonais.^[2]

Xeometría do plano euclidiano

A xeometría plana ou xeometría do plano euclidiano é unha parte da xeometría que trata daqueles elementos cuxos puntos están contidos nun plano euclidiano. A xeometría plana está considerada parte da xeometría euclidiana, pois esta estuda os elementos xeométricos a partir de dúas dimensións.

Dende un punto de vista máis xeral, o plano euclidiano caracterízase por ser unha variedade riemanniana de dimensión dúas de curvatura nula e simplemente conexa.

Axiomas

A presentación tradicional da xeometría euclidiana faise nun formato axiomático, no que todos os teoremas («declaracións verdadeiras») derivan dun pequeno número de axiomas.^[3] Un sistema axiomático é aquel que, a partir dun certo número de proposicións que se presupoñen «evidentes» (coñecidas como axiomas) e mediante deducións lóxicas, xera novas proposicións cuxo valor de verdade é tamén lóxico.

Postulados

Euclides expuxo cinco postulados no seu sistema:

Dados dous puntos pódese trazar unha recta que os une.
Calquera segmento pode prolongarse de maneira continua en calquera sentido.
Pódese trazar unha circunferencia con centro en calquera punto e de calquera radio.
Todos os ángulos rectos son congruentes.
Se unha recta, ao cortar outras dúas, forma ángulos internos menores a dous ángulos rectos, esas dúas rectas prolongadas indefinidamente córtanse ao lado no que están os ángulos menores que dous rectos (quinto postulado de Euclides).

Este último postulado, que se coñece como o postulado das paralelas, foi reformulado como:

5. Por un punto exterior a unha recta, pódese trazar unha única paralela á recta dada.

Este postulado parece menos obvio que os outros catro, e moitos xeómetras, incluído o propio Euclides, tentaron deducilo dos anteriores. Cando tentaron reducilo ao absurdo negándoo, xurdiron dúas novas xeometrías: a elíptica, tamén chamada xeometría de Riemann ou riemanniana (dada unha recta e un punto exterior a ela, non existe ningunha recta que pase polo punto e sexa paralela á recta dada) e a hiperbólica ou de Lobachevski (existen varias rectas paralelas que pasen por un punto exterior a unha dada).

Limitacións

Euclides asumiu que todos os seus postulados ou axiomas eran autoevidentes e por tanto feitos que non requirían demostración. Con todo, resultou que o quinto postulado —aínda que é compatible cos outro catro— en certo xeito é independente. É dicir, tanto o quinto postulado como a negación do quinto postulado, son compatibles cos outros catro postulados. As xeometrías onde o quinto postulado non é válido chámanse xeometrías non euclidianas.

Unha limitación do traballo de Euclides foi non recoñecer a posibilidade de sistemas xeométricos perfectamente consistentes onde o quinto axioma non era válido, é dicir, para Euclides e os xeómetras posteriores até o século XVIII pasou inadvertida a posibilidade de xeometrías non euclidianas, até o traballo de Nikolai Lobachevski, Gauss e Riemann.

Aínda que durante o século XIX se consideraron as xeometrías non euclidianas un artefacto matematicamente interesante e mesmo con certo interese práctico pero limitado, como é o caso da trigonometría esférica usada en astronomía, en certo xeito admitiuse que a xeometría do espazo físico era euclidiana e, polo tanto, as xeometrías non euclidianas eran tan só un artificio abstracto útil para certos problemas, pero de ningún xeito descricións realistas do mundo. Con todo, o traballo de Albert Einstein fixo ver que entre as necesidades da física moderna están as xeometrías non euclidianas para describir, por exemplo, o espazo-tempo curvo.

Algún dos erros de Euclides foi omitir polo menos dous postulados máis:

Dúas circunferencias cuxos centros estean separados por unha distancia menor á suma dos seus radios, córtanse en dous puntos (Euclides utilízao na súa primeira construción).
Dous triángulos con dous lados iguais e os ángulos comprendidos tamén iguais, son congruentes (afirmación equivalente ao concepto de movemento, que Euclides usa para o seu teorema cuarto sen definir explicitamente).

Notas

↑ Masa Vázquez, Xosé M.; Fortes López, Belén (1995). Servizo de Normalización Lingüística da Universidade de Santiago de Compostela, ed. Vocabulario de Matemáticas. Santiago de Compostela. ISBN 84-8121-369-1.
↑ Cómpre indicar que se pode dotar un mesmo espazo vectorial real de distintos produtos escalares, así que, incluso con esta acepción, existe unha enorme ambigüidade, ao non quedar claro nin a dimensión do espazo (en principio calquera dimensión finita) nin o produto escalar ao que nos referimos.
↑ As hipóteses de Euclides analízanse dende unha perspectiva moderna en Wolfe, Harold E. (2007). Introduction to non-Euclidean geometry (en inglés). Mill Press. p. 9. ISBN 1-4067-1852-1.

Véxase tamén

Bibliografía

Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: Londres: Macmillan & Co., 1908] ed.). Nova York: Dover Publications. pp. 50–62. ISBN 0-486-20630-0.
Coxeter, H.S.M. (1961). Introduction to Geometry. Nova York: Wiley.
Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry. Allyn and Bacon.
Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nova York: Dover Publications.

(3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3). Heath's authoritative translation of Euclid's Elements plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.

Misner, Thorne, and Wheeler (1973). Gravitation. W.H. Freeman.
Mlodinow (2001). Euclid's Window. The Free Press.
Nagel, E.; Newman, J.R. (1958). Gödel's Proof. New York University Press.
Alfred Tarski (1951) A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. Univ. of California Press.

Ligazóns externas

Xeometría euclidiana (en castelán)
Xeometría euclidiana (en castelán)
Kiran Kedlaya, Geometry Unbound Arquivado 26 de outubro de 2011 en Wayback Machine. (en inglés)

[1] Masa Vázquez, Xosé M.; Fortes López, Belén (1995). Servizo de Normalización Lingüística da Universidade de Santiago de Compostela, ed. Vocabulario de Matemáticas. Santiago de Compostela. ISBN 84-8121-369-1.

[2] Cómpre indicar que se pode dotar un mesmo espazo vectorial real de distintos produtos escalares, así que, incluso con esta acepción, existe unha enorme ambigüidade, ao non quedar claro nin a dimensión do espazo (en principio calquera dimensión finita) nin o produto escalar ao que nos referimos.

[Wolfe-3] As hipóteses de Euclides analízanse dende unha perspectiva moderna en Wolfe, Harold E. (2007). Introduction to non-Euclidean geometry (en inglés). Mill Press. p. 9. ISBN 1-4067-1852-1.

[1]

[2]

[3]