Semellanza (xeometría)

As figuras da mesma cor son semellantes

En matemáticas dise que dúas figuras xeométricas son semellantes se teñen a mesma forma pero diferentes tamaños. Por exemplo, dous mapas con distintas escalas son semellantes, pois a forma do contido non cambia, pero si o tamaño.

Introdución

Unha semellanza entre dúas figuras xeométricas vén definida exclusivamente pola condición de que a distancia entre calquera par de puntos da primeira figura $A$ e $B$ e a distancia entre os seus dous correspondentes da segunda figura $A'$ e $B'$, teñen un valor constante chamado razón de semellanza:

${\frac {\;{\overline {A'B'}}\;}{\;{\overline {AB}}\;}}=\alpha$

Unha semellanza pódese expresar como unha composición de rotacións, translacións, reflexións e homotecias. Polo tanto a semellanza modifica o tamaño e a orientación dunha figura pero non se altera a súa forma.

No caso do triángulo, a forma só depende dos seus ángulos. Porén, non é así no caso dos rectángulos, por exemplo, onde os seus ángulos son rectos pero cuxa forma pode ser máis ou menos alargada, é dicir que depende do cociente entre a base e a altura.

Ecuación

Reúnense estas dúas propiedades equivalentes na seguinte ecuación:

$(ABC\sim A'B'C')\Longleftrightarrow {\begin{Bmatrix}{\widehat {A}}={\widehat {A}}'\\{\widehat {B}}={\widehat {B}}'\\{\widehat {C}}={\widehat {C}}'\end{Bmatrix}}\Longleftrightarrow \left({\frac {\overline {A'B'}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {A'C'}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {B'C'}}{\overline {BC}}}\right)$

Corolarios

• Todos os triángulos equiláteros son semellantes.
• Se dous triángulos teñen dous ángulos iguais, os terceiros tamén son iguais.
• Unha semellanza é a composición dunha isometría cunha homotecia. Na semellanza pódese cambiar o tamaño e a orientación dunha figura pero non se altera a súa forma.

Teorema fundamental da semellanza de triángulos

Triángulos semellantes

Todas as paralelas a un lado dun triángulo que non pasen polo vértice oposto, determinan coas rectas ás que pertencen os outros dous lados, un triángulo semellante ao dado.

Xeometrías non euclidianas

Triángulos semellantes sobre unha variedade

Triángulos semellantes na xeometría de Riemann.

A posibilidade de aumentar o tamaño dunha figura sen modificar a súa forma é tan obvia e natural que durante milenios se pensou que era unha consecuencia dos axiomas da xeometría, e tratouse en balde de demostralo desde a Grecia antiga. Con todo, ao estudar outras xeometrías, as non euclidianas, os matemáticos do século XIX, entre eles Bernhard Riemann e Nikolái Lobachevski déronse conta de que isto só sucedía nos espazos euclidianos, é dicir, sen curvatura.

Pódese definir unha xeometría sobre a esfera, por exemplo: os segmentos son os camiños máis curtos que unen os seus extremos e as rectas son as liñas xeodésicas, a semellanza dos ecuadores da esfera. O análogo dunha homotecia constrúese así: escóllese un punto O da superficie como centro da homotecia, e para definir a imaxe doutro punto A trázase a xeodésica que pasa por O e A (que é única se A non é o punto diametralmente oposto a O), considérase que O é a orixe desta liña e A o punto de abscisa 1. A imaxe A' será o punto de abscisa k, onde k é a razón da homotecia. Na figura tomouse k = 3 e construíronse as imaxes de B e C tamén.

Obsérvase que a imaxe do "triángulo" ABC é o "triángulo" AB'C', é dicir que os catetos A'B', A'C' e B'C' son segmentos de liñas xeodésicas, e que A'B'C' merece ser chamado triángulo semellante (por non dicir homotético) ao triángulo ABC.

Ao aplicar a construción precedente ao pequeno triángulo ABC da superficie da esfera (pequeno en comparación co diámetro), a suma dos seus ángulos será lixeiramente superior a π radiáns (180º), pero o triángulo A'B'C' terá ángulos de maior amplitude, sendo a súa suma moito maior que π radiáns, como se ve na figura. O aumento do tamaño implica aquí claramente un cambio de forma.

En conclusión, os triángulos semellantes permiten saber en que clase de espazo nos atopamos, un euclidiano, ou con curvatura positiva (como a esfera), ou con curvatura negativa (espazo hiperbólico), e a dobre caracterización dos triángulos similares (mesmos ángulos e cocientes dos lados iguais) na xeometría usual non é nin anecdótico nin anódino.

Véxase tamén

Outros artigos

• Triángulo
• Congruencia (xeometría)
• Teorema de Tales
• Teorema de Pitágoras
• Proporcionalidade

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. «Similar» en MathWorld