Simetría axial

Unha simetría de eixe p.

Na xeometría euclidiana elemental, unha simetría axial ou reflexión é unha transformación xeométrica do plano que modela un "pregamento" ou un "efecto espello": dúas figuras son simétricas con respecto a unha liña cando se superpoñen despois do pregamento por esta liña. Este é un caso especial de simetría.

A simetría axial de eixe a recta d transforma calquera punto M no único punto M' tal que d é a mediatriz do segmento [MM']. Noutras palabras: deixa todos os puntos de d invariantes e transforma calquera punto M non situado en d no punto M' tal que:

• a recta (MM') é perpendicular ao eixe de simetría d;
• o medio do segmento [MM'] pertence ao eixe de simetría d.

O punto M' chámase logo simétrico de M en relación ao eixe de simetría d.

Con relación a d, dise que dúas figuras do plano son simétricas cando unha é a imaxe da outra mediante esta aplicación, e unha figura dise que é simétrica cando é simétrica a si mesma, é dicir, globalmente invariante por esta transformación. A recta d chámase entón eixe de simetría da figura.

Propiedades

Involución

A simetría axial é, como toda simetría, unha involución, é dicir, atopamos o punto de partida ou a figura se o aplicamos dúas veces. En particular, é unha bixección.

Conservación

A simetría axial é unha isometría afín; ela mantén:

• aliñamento (a simetría dunha liña é unha liña),
• paralelismo (as liñas simétricas de dúas rectas paralelas son paralelas),
• as distancias,
• ángulos xeométricos (o simétrico dun ángulo é un ángulo da mesma medida),
• perímetros (a simetría dunha figura é unha figura co mesmo perímetro),
• áreas (a simetría dunha figura é unha figura coa mesma área).

Pero non conserva a orientación (nin, polo tanto, os ángulos orientados) : cando o punto M xira ao redor de O "en sentido horario", o seu punto simétrico M' xira ao redor de O' no sentido contrario.

Exemplos

• Se unha recta corta o eixe de simetría d en M, o mesmo se aplicará á súa simétrica.
• Se unha recta é paralela ao eixe de simetría d, o mesmo sucederá coa súa simétrica.
• Se unha recta é perpendicular ao eixe de simetría d, é a súa propia simétrica.
• O simétrico con respecto a d dun círculo con centro O é o círculo co mesmo raio e con centro O', o simétrico con respecto a O con respecto a d.

Construción da simetría dun punto M en relación a unha recta d

Un triángulo (ABC) e a súa imaxe (A'B'C') por simetría do eixe (c₁c₂). O punto B' constrúese só co compás mentres que C' constrúese co escuadro.

Vemos a construción na figura cos puntos A' e C' perpendiculares a recta (c1,c2) e usando un método diferente mediante compás para situar B'.

Bibliografía

• Girbau, J.: Geometria diferencial i relativitat, Ed. Universidad Autónoma de Barcelona, 1993. ISBN 84-7929-776-X.

Outros artigos

• Reflexión (matemáticas).
• Simetría.
• Isometría.
• Problema de Herón