Número de Bernoulli

Números de Bernoulli B±
n

n	fracción	decimal
0	1	+1.000000000
1	±1/2	±0.500000000
2		+0.166666666
3	0	+0.000000000
4	−1/30	−0.033333333
5	0	+0.000000000
6		+0.023809523
7	0	+0.000000000
8	−1/30	−0.033333333
9	0	+0.000000000
10		+0.075757575
11	0	+0.000000000
12	−691/2730	−0.253113553
13	0	+0.000000000
14		+1.166666666
15	0	+0.000000000
16	−3617/510	−7.092156862
17	0	+0.000000000
18		+54.97117794
19	0	+0.000000000
20	−174611/330	−529.1242424

En matemáticas, os números de Bernoulli B_n son unha sucesión de números racionais que ocorren con frecuencia na análise matemática. Os números de Bernoulli aparecen na (e poden definirse por) expansión da serie de Taylor das funcións tanxente e tanxente hiperbólica, na fórmula de Faulhaber para a suma das m-avas potencias dos primeiros n enteiros positivos, na fórmula de Euler-Maclaurin, e en expresións para certos valores da función zeta de Riemann.

Os valores dos primeiros 20 números de Bernoulli están indicados na táboa adxacente. Na literatura utilízanse dúas convencións, denotadas aquí por $B_{n}^{-{}}$ e $B_{n}^{+{}}$; difiren só para n = 1, onde $B_{1}^{-{}}=-1/2$ e $B_{1}^{+{}}=+1/2$. Para todo impar n > 1, B_n = 0. Para todo n > 0 par, B_n é negativo se n é divisíbel por 4 e positivo no caso contrario. Os números de Bernoulli son valores especiais dos polinomios de Bernoulli $B_{n}(x)$, con $B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)$ e $B_{n}^{+}=B_{n}(1)$.

Notación

O superíndice ± usado neste artigo distingue as dúas convencións de signos para os números de Bernoulli. Só afecta ao termo n = 1:

• B−
  n with B−
  1 = −1/2B−
  1 = −1/2 ((secuencia A027641 na OEIS) / (secuencia A027642 na OEIS)) é a convención de signos prescrita polo NIST e a maioría dos libros de texto modernos.
• B+
  n with B+
  1 = +1/2B+
  1 = +1/2 ((secuencia A164555 na OEIS) / (secuencia A027642 na OEIS)) utilizouse nos artigos antigos, e (desde 2022) por Donald Knuth seguindo o "Bernoulli Manifesto" de Peter Luschny.

Nas fórmulas seguintes, pódese mudar dunha convención de signos a outra coa relación $B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}$, ou para o número enteiro n = 2 ou maior, simplemente ignoralo.

Dado que B_n = 0 para todos n > 1, e moitas fórmulas só implican números de Bernoulli de índice par, algúns autores escriben " B_n" en lugar de B_2n . Este artigo non segue esa notación.

Historia

Primeiros tempos

Os números de Bernoulli teñen raíces na historia do cálculo de sumas de potencias enteiras, que foron de interese para os matemáticos desde a antigüidade.

Unha páxina do Katsuyō Sanpō de Seki Takakazu (1712), que tabula coeficientes binomiais e números de Bernoulli.

O resultado de Bernoulli foi publicado póstumamente en Ars Conjectandi en 1713. Seki Takakazu descubriu independentemente os números de Bernoulli e o seu resultado foi publicado un ano antes, tamén póstumamente, en 1712. Porén, Seki non presentou o seu método como unha fórmula baseada nunha secuencia de constantes.

A fórmula de Bernoulli para as sumas de potencias é a formulación máis útil e xeneralizábel ata a data. Os coeficientes da fórmula de Bernoulli chámanse agora números de Bernoulli, seguindo unha suxestión de Abraham de Moivre.

A fórmula de Bernoulli chámase ás veces fórmula de Faulhaber por Johann Faulhaber quen atopou formas notábeis de calcular a suma de potencias pero nunca enunciou a fórmula de Bernoulli. Segundo Knuth Carl Jacobi publicou por primeira vez unha proba rigorosa da fórmula de Faulhaber en 1834.

Reconstrución de "Summae Potestatum"

"Summae Potestatum", de Jakob Bernoulli, 1713⋮

Os números de Bernoulli (secuencia A164555 na OEIS) (n)/ OEIS (secuencia A027642 na OEIS) (n) foron introducidos por Jakob Bernoulli no libro Ars Conjectandi publicado póstumamente en 1713, páxina 97. A fórmula principal pódese ver na segunda metade do facsímile correspondente. Os coeficientes constantes denotados A, B, C e D por Bernoulli son mapeados coa notación que agora prevalece como A = B₂, B = B₄, C = B₆, D = B₈. A expresión c·c−1·c−2·c−3 significa c·(c−1)·(c−2)·(c−3), os pequenos puntos úsanse como símbolos de agrupación.

Usando a terminoloxía actual estas expresións son factoriais descendentes c^k. A notación factorial k! como atallo para 1 × 2 × ... × k non se introduciu ata 100 anos despois. O símbolo integral do lado esquerdo remóntase a Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675 que o usou como unha letra longa S para "summa" (suma). A letra n do lado esquerdo non é un índice de suma, senón que dá o límite superior do intervalo de suma que debe entenderse como 1, 2, ..., n . Xuntando estas cousas, para un c positivo, hoxe é probábel que un matemático escriba a fórmula de Bernoulli como:

$\sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.$

Esta fórmula suxire estabelecer B₁ = 1/2, así temos

$\sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}$

se B₁ = 1/2, recuperando o valor que Bernoulli lle deu ao coeficiente nesa posición.

A fórmula para $\textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}$ na primeira metade da cita de Bernoulli anterior contén un erro no último termo; debería ser $-{\tfrac {3}{20}}n^{2}$ en vez de $-{\tfrac {1}{12}}n^{2}$.

Definicións

Atopáronse moitas caracterizacións dos números de Bernoulli nos últimos 300 anos, e cada unha delas podería usarse para introducir estes números. Aquí só se mencionan catro das máis útiles:

• unha ecuación recursiva,
• unha fórmula explícita,
• unha función xeradora,
• unha expresión integral.

Para a proba da equivalencia dos catro enfoques podemos ver a referencia de Ireland e Rosen.

Definición recursiva

Os números de Bernoulli obedecen ás fórmulas de suma

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{aligned}}$

onde $m=0,1,2...$ e δ denota o delta de Kronecker.

A primeira delas ás veces escríbese como a fórmula (para m > 1)

$(B+1)^{m}-B_{m}=0,$

onde a potencia se expande formalmente usando o teorema binomial e $B^{k}$ substitúese por $B_{k}$.

Resolvendo para $B_{m}^{\mp {}}$ dá as fórmulas recursivas

${\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}},\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}$

Definición explícita

En 1893 Louis Saalschütz enumerou un total de 38 fórmulas explícitas para os números de Bernoulli, normalmente dando algunha referencia na literatura máis antiga. Unha delas é (por $m\geq 1$):

${\begin{aligned}B_{m}^{-}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}j^{m},\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{m}.\end{aligned}}$

Función xeradora

As funcións xeradoras exponenciais son

${\begin{alignedat}{3}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}},\\{\frac {te^{t}}{e^{t}-1}}={\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{alignedat}}$

A función xeradora ordinaria

$z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m}$

é unha serie asintótica. Contén a función trigamma ψ₁ (segunda derivada do logaritmo da función gamma).

Expresión con integral

Das funcións xeradoras anteriores, pódese obter a seguinte fórmula con integral para os números pares de Bernoulli:

$B_{2n}=4n(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n-1}}{e^{2\pi t}-1}}\mathrm {d} t$.

Os números de Bernoulli e a función zeta de Riemann

Os números de Bernoulli dados pola función zeta de Riemann.

Os números de Bernoulli pódense expresar en termos da función zeta de Riemann:

B+
n = −n ζ(1 − n) para n ≥ 1.

Aquí o argumento da función zeta é 0 ou negativo. Como $\zeta (k)$ é cero para os enteiros pares negativos (os ceros triviais), se n>1 é impar, $\zeta (1-n)$ é cero.

Mediante a ecuación funcional da zeta e a fórmula de reflexión gamma pódese obter a seguinte relación:

$B_{2n}={\frac {(-1)^{n+1}2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n)\quad$ para n ≥ 1.

Agora o argumento da función zeta é positivo.

De ζ → 1 ( n → ∞ ) e da fórmula de Stirling despréndese que

$|B_{2n}|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}\quad$ para n → ∞.

Análise asintótica

Artigo principal: Formula de Euler-Maclaurin.

Sen dúbida, a aplicación máis importante dos números de Bernoulli en matemáticas é o seu uso na fórmula de Euler-Maclaurin. A fórmula de Euler-Maclaurin proporciona expresións para a diferenza entre a suma e a integral en termos da derivada máis alta f^(k)(x) avaliada nos extremos do intervalo.

Asumindo que f é unha función suficientemene diferenciábel (k veces diferenciábel) , a fórmula de Euler-Maclaurin pódese escribir como

$\sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).$

Esta formulación asume a convención B−
1 = −1/2.

$\sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).$

Aquí $f^{(0)}=f$ (é dicir, a derivada de orde cero de $f$ é xusto $f$). Alén diso, sexa $f^{(-1)}$ a antiderivada de $f$. Segundo o teorema fundamental do cálculo temos,

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).$

Así, a última fórmula pódese simplificar aínda máis á seguinte forma sucinta da fórmula de Euler-Maclaurin

$\sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).$

Onde $R(f,m)$ é o termo de erro, que adoita ser pequeno para valores adecuados de k.

Esta forma é, por exemplo, a fonte da importante expansión de Euler-Maclaurin da función zeta

${\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}$

Aquí s^k denota o factorial ascendente.

Os números de Bernoulli tamén se usan con frecuencia noutros tipos de expansións asintóticas. O seguinte exemplo é a clásica expansión asintótica de tipo Poincaré da función digamma ψ (derivada do logaritmo da función gamma).

$\psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}$.

Suma de potencias

Os números de Bernoulli teñen un lugar destacado na expresión en forma pechada da suma das potencias m-ésimas dos primeiros n números enteiros positivos. Para m, n ≥ 0 definimos

$S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.$

Esta expresión sempre pode reescribirse como un polinomio en n de grao m + 1. Os coeficientes destes polinomios están relacionados cos números de Bernoulli pola fórmula de Bernoulli:

$S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},$

onde (m + 1
k) denota o coeficiente binomial.

Por exemplo, tomando m como 1 dá os números triangulares 0, 1, 3, 6, ... (secuencia A000217 na OEIS).

$1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).$

Serie de Taylor

Os números de Bernoulli aparecen na expansión da serie de Taylor de moitas funcións trigonométricas e funcións hiperbólicas.

${\begin{aligned}\tan x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\\\cot x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\\\tanh x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&|x|<{\frac {\pi }{2}}.\\\coth x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\end{aligned}}$

Serie Laurent

Os números de Bernoulli aparecen na serie de Laurent da función digamma: $\psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}$.

Conexións con números combinatorios

A conexión do número de Bernoulli con varios tipos de números combinatorios baséase na teoría clásica das diferenzas finitas e na interpretación combinatoria dos números de Bernoulli como exemplo dun principio combinatorio fundamental, o principio de inclusión-exclusión.

Conexión cos números de Stirling do segundo tipo

Se se definen os polinomios de Bernoulli B_k(j) como:

$B_{k}(j)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {j}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}$

onde B_k para k = 0, 1, 2,... son os números de Bernoulli e S(k,m) é un número de Stirling do segundo tipo.

Tamén obtemos o seguinte para os polinomios de Bernoulli,

$B_{k}(j)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}j^{k-n}.$

O coeficiente de j en (j
m + 1) é (−1)^m/m + 1.

Comparando o coeficiente de j nas dúas expresións dos polinomios de Bernoulli temos:

$B_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k-1,m)$

que é unha fórmula explícita para os números de Bernoulli e pode usarse para demostrar o Teorema de Von-Staudt Clausen..

Conexión cos números de Stirling do primeiro tipo

As dúas fórmulas principais que relacionan os números de Stirling sen signo do primeiro tipo [n
m] cos números de Bernoulli (con B₁ = +1/2) son:

${\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{k}={\frac {1}{m+1}},$

e a inversión desta suma (para n ≥ 0, m ≥ 0 )

${\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.$

Aquí o número A_n,m son os números racionais de Akiyama-Tanigawa, os primeiros deles aparecen na seguinte táboa.

número de Akiyama-Tanigawa

m n	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/3	1/4	1/5
1	1/2	1/3	1/4	1/5	...
2	1/6	1/6	3/20	...	...
3	0	1/30	...	...	...
4	−1/30	...	...	...	...

Os números de Akiyama-Tanigawa satisfán unha relación de recorrencia sinxela que se pode explotar para calcular iterativamente os números de Bernoulli. Ver (secuencia A051714 na OEIS) / (secuencia A051715 na OEIS).

Conexión co triángulo de Pascal

Hai fórmulas que conectan o triángulo de Pascal cos números de Bernoulli

$B_{n}^{+}={\frac {|A_{n}|}{(n+1)!}}~~~$

onde $|A_{n}|$ é o determinante dunha matriz de Hessenberg da parte n-por-n do triángulo de Pascal cuxos elementos son: $a_{i,k}={\begin{cases}0&{\text{se }}k>1+i\\{i+1 \choose k-1}&{\text{noutro caso}}\end{cases}}$

Exemplo:

$B_{6}^{+}={\frac {\det {\begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0\\1&4&6&4&0&0\\1&5&10&10&5&0\\1&6&15&20&15&6\\1&7&21&35&35&21\end{pmatrix}}}{7!}}={\frac {120}{5040}}={\frac {1}{42}}$.

Relación cos números eulerianos

Hai fórmulas que relacionan os números eulerianos ⟨n
m⟩ cos números de Bernoulli:

${\begin{aligned}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle &=2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}},\\\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {\binom {n}{m}}^{-1}&=(n+1)B_{n}.\end{aligned}}$

Ambas as fórmulas son válidas para n ≥ 0 se B₁ se vale 1/2. Se B₁ vale −1/2 só son válidas para n ≥ 1 e n ≥ 2 respectivamente.

Representación integral e continuación analítica

A integral

$b(s)=2e^{si\pi /2}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}={\frac {s!}{2^{s-1}}}{\frac {\zeta (s)}{{}\pi ^{s}{}}}(-i)^{s}={\frac {2s!\zeta (s)}{(2\pi i)^{s}}}$

ten como valores especiais b(2n) = B_2n para n > 0 .

Por exemplo, b(3) = 3/2ζ(3)π⁻³i e b(5) = −15/2ζ(5)π⁻⁵i. Onde, ζ denota a Función zeta de Riemann, e i denota a unidade imaxinaria.

Leonhard Euler (Opera Omnia, Ser. 1, Vol. 10, p. 351) considerou estes números e calculou

${\begin{aligned}p&={\frac {3}{2\pi ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \right)=0.0581522\ldots \\q&={\frac {15}{2\pi ^{5}}}\left(1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \right)=0.0254132\ldots \end{aligned}}$

Outra representación integral similar é

$b(s)=-{\frac {e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{\sinh \pi t}}{\frac {dt}{t}}={\frac {2e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{\pi t}st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}.$

A relación cos números de Euler e π

Os números de Euler son ​​unha sucesión de números enteiros intimamente relacionados cos números de Bernoulli. Comparando as expansións asintóticas dos números de Bernoulli e de Euler mostran que os números de Euler E_2n teñen unha magnitude aproximadamente 2/π(4²ⁿ − 2²ⁿ) veces maior que os números de Bernoulli B_2n.

En consecuencia:

$\pi \sim 2(2^{2n}-4^{2n}){\frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.$

Esta ecuación asintótica revela que π reside na raíz común tanto dos números de Bernoulli como dos de Euler. De feito π podería calcularse a partir destas aproximacións racionais.

Os números de Bernoulli pódense expresar a través dos números de Euler e viceversa. Xa que, para n impar, B_n = E_n = 0 (coa excepción de B₁), abonda con considerar o caso cando n é par.

${\begin{aligned}B_{n}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{4^{n}-2^{n}}}E_{k}&n&=2,4,6,\ldots \\[6pt]E_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}{\frac {2^{k}-4^{k}}{k}}B_{k}&n&=2,4,6,\ldots \end{aligned}}$

Unha visión algorítmica: o triángulo de Seidel

A secuencia S_n ten outra propiedade inesperada pero importante: os denominadores de S_n+1 dividen o factorial de n. Noutras palabras: os números T_n=S_{n + 1} n! son números enteiros. Ás veces chamados números en zigzag de Euler ou permutacións alternadas.

$T_{n}=1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0,1,2,3,\ldots$ ((secuencia A000111 na OEIS)). Consulte ((secuencia A253671 na OEIS)).

A súa función xeradora exponencial é a suma das funcións secante e tanxente.

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)=\sec x+\tan x$.

Así, as representacións anteriores dos números de Bernoulli e Euler poden reescribirse en termos desta secuencia como

${\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ par}}]{\frac {n}{2^{n}-4^{n}}}\,T_{n-1}\ &n&\geq 2\\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ par}}]T_{n}&n&\geq 0\end{aligned}}$

Estas identidades facilitan o cálculo dos números de Bernoulli e Euler: os números de Euler E_2n veñen dados inmediatamente por T_2n e os números de Bernoulli B_2n son fraccións obtidas de T_{2n - 1} mediante un troco sinxelo, evitando a aritmética racional.

O que fica é atopar un xeito cómodo de calcular os números T_n. Porén, xa en 1877 Philipp Ludwig von Seidel publicou un enxeñoso algoritmo, que facilita o cálculo de T_n.

${\begin{array}{crrrcc}{}&{}&{\color {red}1}&{}&{}&{}\\{}&{\rightarrow }&{\color {blue}1}&{\color {red}1}&{}\\{}&{\color {red}2}&{\color {blue}2}&{\color {blue}1}&{\leftarrow }\\{\rightarrow }&{\color {blue}2}&{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {red}5}\\{\color {red}16}&{\color {blue}16}&{\color {blue}14}&{\color {blue}10}&{\color {blue}5}&{\leftarrow }\end{array}}$

Algoritmo de Seidel para T_n

1. Comece poñendo 1 na fila 0 e sexa k o número da fila que se está a cubrir actualmente.
2. Se k é impar, poña o número no extremo esquerdo da fila k - 1 na primeira posición da fila k, e encha a fila de esquerda a dereita, sendo cada entrada a suma do número á esquerda e o número na parte superior.
3. Ao final da fila duplique o último número.
4. Se k é par, proceda de xeito similar na outra dirección.

O algoritmo de Seidel é de feito moito máis xeral (ver a exposición de Dominique Dumont ) e foi redescuberto varias veces despois.

Similar ao enfoque de Seidel, D. E. Knuth e T. J. Buckholtz deron unha ecuación de recorrencia para os números T_2n e recomendaron este método para calcular B_2n e E_2n "en computadoras electrónicas usando só operacións simples en números enteiros".

V. I. Arnold redescubriu o algoritmo de Seidel e máis tarde Millar, Sloane e Young popularizaron o algoritmo de Seidel baixo o nome de transformada do bustrófedon (onde Bustrófedon fai referencia a un sistema de escritura que muda alternativamente de sentido de liña en liña).

Propiedades aritméticas dos números de Bernoulli

Os números de Bernoulli pódense expresar en termos da función zeta de Riemann como B_n = −nζ(1 − n) para números enteiros n ≥ 0 (para n = 0 a expresión −nζ(1 − n) enténdese como o valor límite).

Isto relaciónaos intimamente cos valores da función zeta en números enteiros negativos. Como tal, podería esperarse que teñan propiedades aritméticas profundas. Por exemplo, a conxectura de Agoh-Giuga postula que p é un número primo se e só se pB_{p − 1} é congruente con −1 módulo p.

Por un teorema de Kummer as propiedades de divisibilidade dos números de Bernoulli están relacionadas cos grupo de clases de ideais dos corpos ciclotómicos. Nunha versión máis forte temos o teorema de Herbrand-Ribet. E unha relación a maiores cos números de clase de corpos cadráticos reais pola congruencia de Ankeny-Artin-Chowla.

Os teoremas de Kummer

Artigo principal: Congruencia de Kummer.

Os números de Bernoulli están relacionados co Último Teorema de Fermat (FLT) polo teorema de Kummer, que di:

Se o primo impar p non divide ningún dos numeradores dos números de Bernoulli B₂, B₄ , ..., B_{p − 3} daquela x^p + y^p + z^p = 0 non ten solucións en números enteiros distintos de cero.

Os números primos con esta propiedade chámanse primos regulares.

Outro resultado clásico de Kummer son as seguintes congruencias.

Sexa p un número primo impar e b un número par tal que p − 1 non divida b. Entón, para calquera número enteiro non negativo k

${\frac {B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b}}\equiv {\frac {B_{b}}{b}}{\pmod {p}}.$

Unha xeneralización destas congruencias leva o nome de continuidade p-ádica.

Continuidade p-ádica

(Para unha introdución aos números p-ádicos ver número p-ádico).

Se b, m e n son números enteiros positivos tal que m e n non son divisíbeis por p − 1 e m ≡ n (mod p^{b − 1} (p − 1)), entón

$(1-p^{m-1}){\frac {B_{m}}{m}}\equiv (1-p^{n-1}){\frac {B_{n}}{n}}{\pmod {p^{b}}}.$

Dado que B_n = −nζ(1 − n), isto tamén se pode escribir como

$\left(1-p^{-u}\right)\zeta (u)\equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta (v){\pmod {p^{b}}},$

onde u = 1 − m e v = 1 − n, polo que que u e v non son positivos e non son congruentes con 1 módulo p − 1.

Isto indícanos que a función zeta de Riemann, con 1 − p^−s eliminado da fórmula do produto de Euler, é continua nos números p-ádicos en enteiros negativos impares congruentes módulo p − 1 a un determinado ${\textstyle a\not \equiv 1{\pmod {p-1}}}$, polo que se pode estender a unha función continua ζ_p (s) para todos os p-ádicos enteiros $\mathbb {Z} _{p},$ a función zeta p-ádica.

Congruencias de Ramanujan

As seguintes relacións, debidas a Ramanujan, proporcionan un método para calcular números de Bernoulli que é máis eficiente que o dado pola súa definición recursiva orixinal:

${\binom {m+3}{m}}B_{m}={\begin{cases}{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{se }}m\equiv 0{\pmod {6}};\\{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-2}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{se }}m\equiv 2{\pmod {6}};\\-{\frac {m+3}{6}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-4}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{se }}m\equiv 4{\pmod {6}}.\end{cases}}$

Véxase tamén

Bibliografía

• Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (1972). "§23.1: Bernoulli and Euler Polynomials and the Euler-Maclaurin Formula". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (9th printing ed.). New York: Dover Publications. pp. 804–806. .
• Arfken, George (1970). Mathematical methods for physicists (2nd ed.). Academic Press. ISBN 978-0120598519. 
• Arlettaz, D. (1998). "Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie". Math. Semesterber 45: 61–75. doi:10.1007/s005910050037. .
• Ayoub, A. (1981). Euler and the Zeta Function. Amer. Math. Monthly 74. pp. 1067–1086. JSTOR 2319041. doi:10.2307/2319041. .
• Conway, John; Guy, Richard (1996). The Book of Numbers. Springer-Verlag. .
• Dilcher, K.; Skula, L.; Slavutskii, I. Sh. (1991). Bernoulli numbers. Bibliography (1713–1990). Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics (Kingston, Ontario). .
• Dumont, D.; Viennot, G. (1980). A combinatorial interpretation of Seidel generation of Genocchi numbers. Ann. Discrete Math. Annals of Discrete Mathematics 6. pp. 77–87. ISBN 978-0-444-86048-4. doi:10.1016/S0167-5060(08)70696-4. .
• Entringer, R. C. (1966). A combinatorial interpretation of the Euler and Bernoulli numbers. Nieuw. Arch. V. Wiskunde 14. pp. 241–6. .
• Fee, G.; Plouffe, S. (2007), "An efficient algorithm for the computation of Bernoulli numbers", arXiv:math/0702300 

.

• Graham, R.; Knuth, D. E.; Patashnik, O. (1989). Concrete Mathematics (2nd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-55802-5. 
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97329-X. 
• Jordan, Charles (1950). Calculus of Finite Differences. New York: Chelsea Publ. Co. .
• Kaneko, M. (2000). The Akiyama-Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers. Journal of Integer Sequences 12. p. 29. Bibcode:2000JIntS...3...29K. .
• Knuth, D. E. (1993). Johann Faulhaber and the Sums of Powers. Mathematics of Computation 61 (American Mathematical Society). pp. 277–294. JSTOR 2152953. arXiv:math/9207222. doi:10.2307/2152953. 
• Luschny, Peter (2007). "An inclusion of the Bernoulli numbers". .
• Luschny, Peter (8 October 2011). TheLostBernoulliNumbers. OeisWiki. Consultado o 11 May 2019. .
• "The Mathematics Genealogy Project". Fargo: Department of Mathematics, North Dakota State University. n.d. Arquivado dende o orixinal o 10 May 2019. Consultado o 11 May 2019. .
• Miller, Jeff (23 June 2017). "Earliest Uses of Symbols of Calculus". Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. Consultado o 11 May 2019. .
• Milnor, John W.; Stasheff, James D. (1974). "Appendix B: Bernoulli Numbers". Characteristic Classes. Annals of Mathematics Studies 76. Princeton University Press and University of Tokyo Press. pp. 281–287. .
• Pietrocola, Giorgio (outubro 31, 2008). "Esplorando un antico sentiero: teoremi sulla somma di potenze di interi successivi (Corollario 2b)". Maecla. Consultado o 8 de abril de 2017. .
• Slavutskii, Ilya Sh. (1995). Staudt and arithmetical properties of Bernoulli numbers. Historia Scientiarum 2. pp. 69–74. .
• von Staudt, K. G. Ch. (1845). "De numeris Bernoullianis, commentationem alteram". Erlangen. .
• Sun, Zhi-Wei (2005–2006). "Some curious results on Bernoulli and Euler polynomials". Arquivado dende o orixinal o 2001-10-31. .
• Woon, S. C. (1998). "Generalization of a relation between the Riemann zeta function and Bernoulli numbers". arXiv:math.NT/9812143. 

.

• Worpitzky, J. (1883). Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 94. pp. 203–232. .

Outros artigos

• Polinomio de Bernoulli
• Polinomio de Bernoulli do segundo tipo
• Bernoulli sombra
• Número de Bell
• Números de Euler
• Número de Genocchi
• Congruencias de Kummer
• Función zeta de Hurwitz
• Sumatorio de Euler
• Polinomio de Stirling
• Sumas de potencias

Ligazóns externas

• "Bernoulli numbers". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• The first 498 Bernoulli Numbers from Project Gutenberg
• A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers
• The Bernoulli Number Page
• Bernoulli number programs at LiteratePrograms
• P. Luschny. "The Computation of Irregular Primes". 
• P. Luschny. "The Computation And Asymptotics Of Bernoulli Numbers". 
• Gottfried Helms. "Bernoullinumbers in context of Pascal-(Binomial)matrix" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2022-10-09. 
• Gottfried Helms. "summing of like powers in context with Pascal-/Bernoulli-matrix" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2022-10-09. 
• Gottfried Helms. "Some special properties, sums of Bernoulli-and related numbers" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2022-10-09.